Многоканальные системы с отказами

Рассмотрим случай, когда устройство многоканальное, количество каналов равно m. Если все каналы заняты, то заявка получает отказ. Граф состояний будет иметь m + 1 вершину (см. рис. 2.7): состояние S₀ – устройство свободно; S₁ – один канал занят; S₂ – два канала занято; S_m – m каналов занято.

Рис. 2.7. Граф одноканальной системы с очередью

Обратите внимание, что интенсивность выходящих потоков кратна µ, например, при переходе из состояния S₂ в состояние S₁ интенсивность потока равна 2µ, т. к. если были заняты два канала, а затем стал занят один, то неизвестно какой из них освободился: µ + µ = 2µ.

Для этого графа построим систему уравнений Эрланга:

Выражаем все Р_k через Р₀ и подставляем в последнее нормировочное уравнение:

Основные характеристики системы M/M/m:

вероятность отказа P_отк = Р_m = 1/m! (λ/µ)^mP₀;

вероятность обслуживания Q =Р_обс=1– P_отк ;

абсолютная пропускная способность А= λQ;

среднее количество занятых каналов К = P₁ + 2P₂ + 3P₃ +…mP_m .

Количество каналов можно вычислить проще, зная соотношение

А = µК : среднее число заявок, обслуженных в единицу времени, равно произведению средней производительности одного канала на среднее число занятых каналов.