Вещественная форма

Некоторое неудобство синусно-косинусной формы ряда Фурье состоит в том, что для каждого значения индекса суммирования k (то есть для каждой гармоники с частотой [kω₁]) в формуле фигурируют два слагаемых — синус и косинус. Воспользовавшись формулами тригонометрических преобразований, сумму этих двух слагаемых можно трансформировать в косинус той же частоты с иной амплитудой и некоторой начальной фазой:

–периодическая функция с периодом , ,

- главное значение аргумента.

.

A_k – является фактической амплитудой k-гармоники,

φ_k –начальной фазой k-гармоники.

Если s(t) является четной функцией, фазы φ_k могут принимать только значения 0 и π, а если s(t) — функция нечетная, то возможные значения для фазы равны ± π /2.

Знак φ_k определяется знаками а_k, b_k и правилами тригонометрического приведения углов.

ЗАМЕЧАНИЕ ------------------------------------------------------------------------------------------

Коэффициенты разложения в синус-косинусной форме зависят от выбора точки начала отсчета (периода функции), а в вещественной форме амплитудные коэффициенты не зависят, изменяются только фазовые коэффициенты.

Совокупность амплитуд гармоник ряда Фурье называют амплитудным спектром, а совокупность их фаз — фазовым спектром. Эти понятия не следует путать с амплитудно- и фазочастотными характеристиками, которые относятся не к сигналам, а к цепям.

Чаще всего интересуются только спектром амплитуд и называют его просто спектром. Графически спектр изображают в координатах Х_m и ω. Длины вертикальных отрезков представляют собой амплитуды соответствующих гармоник, эти отрезки называют спектральными линиями, а сам спектр – линейчатым.

Рисунок. Амплитудный и фазовый спектр сигнала состоящего из одной синусоиды