Автоматическая система регулирования с П-регулятором

курсовая работа

2.1 Постановка задачи

Динамическая модель связывает изменение входных и выходных величин во времени, то есть отражает протекание переходного процесса.

Для получения динамической характеристики объекта регулирования необходимо выполнить следующие действия:

- задаться рядом значений времени t;

- подав на вход объекта возмущение, для каждого ti зарегистрировать значение выходного сигнала yi.

Полученная, таким образом, динамическая характеристика заданного объекта регулирования, приведена в табл. 5.

Таблица 5

Динамическая характеристика объекта регулирования

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

t

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Y

0

0

0.5

0.71

0.8

0.91

0.98

0.99

0.995

1

Для получения аналитической зависимости, заданную таблично динамическую характеристику необходимо аппроксимировать экспоненциальным выражением первого порядка. Затем, по наименьшему значению суммы квадратов отклонений для характеристик без запаздывания и с запаздыванием, нужно выбрать наиболее приближенную к экспериментальным данным динамическую характеристику.

После расчета выполненного вручную следует проверить его на ПЭВМ в системе MathCad, а также произвести расчет динамической характеристики второго порядка и выбрать наиболее точную.

2.2 Модель объекта первого порядка без запаздывания

Динамическая модель первого порядка без запаздывания представляет собой неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка:

(2.1)

где T - постоянная времени объекта;

k - коэффициент передачи при 50% номинального режима.

Решением уравнения (2.1) будет экспоненциальная зависимость сигнала на выходе от времени:

(2.2)

где y0=0 - начальное состояние выхода объекта;

k.x=yуст.=10 - установившееся состояние выхода объекта.

Преобразовав выражение (2.2), получим:

(2.3)

Обозначим левую часть выражения (2.3) как . Значения и их натуральные логарифмы приведены в табл. 6.

Таблица 6

Значения и

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

yi

0

0

0.5

0.71

0.8

0.91

0.98

0.99

0.995

1

1

1

0.5

0.29

0.2

0.09

0.02

0.01

0.005

0

0

0

-0.693

-1.238

-1.609

-2.408

-3.912

-4.605

-5.298

-?

Преобразовав выражение (2.3), получим:

откуда по методу наименьших квадратов найдем постоянную времени:

Таким образом динамическая характеристика первого порядка без запаздывания будет иметь вид:

Вычислим аналитические значения функции, их отклонения от экспериментальных значений, а также квадраты отклонений и сведем их в

Таблица 7

Результаты расчета

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

yi

0

0

0.5

0.71

0.8

0.91

0.98

0.99

0.995

1

yiанал

0

0.46

0.708

0.843

0.915

0.954

0.975

0.987

0.993

0.996

yi

0

-0.46

-0.208

-0.133

-0.115

-0.044

4.8•10-3

3.4•10-3

2.2•10-3

3.9•10-3

0.000

0.212

0.043

0.018

0.013

1.9•10-3

2.3•10-5

1.1•10-5

4.9•10-6

1.5•10-5

Далее находим сумму квадратов отклонений:

Динамическая модель объекта первого порядка без запаздывания является наименее точной, поэтому ее применение не целесообразно при моделировании динамики объекта. Ниже приведен проверочный расчет динамической модели объекта первого порядка без запаздыванием и модели второго порядка без запаздыванием на ЭВМ в системе MathCad.

2.3 Модель объекта первого порядка с запаздыванием

Динамическая модель первого порядка с запаздыванием представляет собой неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка:

(2.4)

где T - постоянная времени объекта;

k - коэффициент передачи при 50% номинального режима;

- время запаздывания.

Решением уравнения (2.1) будет экспоненциальная зависимость сигнала на выходе от времени:

(2.5)

где y0=0 - начальное состояние выхода объекта;

k.x=yуст.=10 - установившееся состояние выхода объекта.

Проведем преобразования, аналогичные модели без запаздывания

или запишем в виде системы :

(2.6)

где берется из табл. 7.

Так как , и , то все уравнения содержащие эти элементы в расчете участвовать не будут.

Решим систему (2.6) методом наименьших квадратов. Составим матрицы:

- искомых величин:

- правой части системы:

- левой части системы:

- произведение

- произведение

Таким образом получили матричное уравнение:

Находим главный определитель:

Подставляя матрицу поочередно в первый и второй столбец матрицы , находим вспомогательные определители:

Находим постоянную времени и время задержки:

Таким образом динамическая характеристика первого порядка с запаздыванием будет иметь вид:

Вычислим аналитические значения функции, их отклонения от экспериментальных значений, а также квадраты отклонений, причем значения функции при учитывать не будем. Результаты сведем в табл. 8.

Таблица 8

Результаты расчета

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

yi

0

0

0.5

0,71

0,8

0,91

0,98

0,99

0,995

1

yiанал

0

0

0.199

0.565

0.764

0.872

0.93

0.962

0.98

0.989

yi

0

0

0.301

0.145

0.036

0.038

0.05

0.028

0.015

0.011

0

0

0.090493

0.020928

0.001291

0.001448

0.002451

0.000769

0.00024

0.000124

Далее находим сумму квадратов отклонений:

.

Так как сумма квадратов отклонений у модели с запаздыванием меньше, чем у модели без запаздывания, то ее использование позволяет более точно описывать протекание переходного процесса.

Расчет на ЭВМ моделей более высоких порядков показывает, что наименьшее значение суммы квадратов отклонений будет у модели второго порядка. Поэтому в дальнейших расчетах будем выполнять все действия именно для модели второго порядка.

Ниже приведен проверочный расчет динамической модели объекта первого порядка с запаздыванием и модели второго порядка с запаздыванием на ЭВМ в системе MathCad.

3. Построение математической модели

Передаточная характеристика объекта представляет собой отношение выходной величины к входной величине.

Передаточная характеристика объекта второго порядка с запаздыванием отличается от характеристики первого порядка наличием в знаменателе дроби квадрата суммы:

После подстановки известных численных значений и всех преобразований, получим:

Приведем полученное выражение к нормальной системе дифференциальных уравнений первого порядка и построим математическую модель объекта на ЭВМ в системе MathCad.

Делись добром ;)