Приложение а вывод уравнений максвелла в дифференциальной форме

Настоящее приложение посвящено выводу уравнений Максвелла в дифференциальной форме. Прежде чем выводить эти уравнения отметим следующее.

Исторически сложилось так, что вначале были получены уравнения Максвелла в интегральной форме. Затем из этих уравнений были получены (выведены) уравнения в дифференциальной форме, что и будет проведено в настоящем приложении.

А.1. Вывод закона полного тока в дифференциальной форме

Запишем первое уравнение Максвелла в интегральной форме.

. (А.1)

Внесем в уравнении (А.1) производную по времени, т.е. величину , под знак интеграла. Это допустимо, так как интегрирование проводится по пространственным координатам. Тогда уравнение (А.1) с учетом формулы (1.2) примет следующий вид:

. (А.2)

Напомним формулировку закона полного тока в интегральной форме: циркуляция вектора напряженности магнитного поля по любому замкнутому контуру L равна полному току, протекающему через любую поверхность, опирающуюся на этот контур. Отсюда следует, что контур и поверхностьв уравнении (А.2) жестко связаны между собой.

Воспользуемся теоремой (формулой) Стокса (см. приложение Е)

,

которая утверждает, что циркуляция произвольного вектора по любому замкнутому контуруL равна потоку вихря этого вектора через любую поверхность, опирающуюся на этот контур.

Подставим формулу Стокса в соотношение (А.2), тогда можно записать, что

.

Последнее равенство можно записать в следующем виде:

. (А.3)

Из формулировки первого уравнения Максвелла в интегральной форме следует, что равенство (А.3) должно выполняться для произвольной поверхности S. Отсюда следует, что для выполнения равенства (А.3) необходимо, чтобы выражение под интегралом в (А.3) было равно нулю в любой точке пространства, т.е. чтобы выполнялось следующее равенство:

или

. (А.4)

Равенство (А.4) является математической формулировкой закона полного тока в дифференциальной форме.

А.2. Вывод закона электромагнитной индукции в дифференциальной форме

Запишем второе уравнение Максвелла в интегральной форме:

. (А.5)

Сравним между собой уравнения (А.1) и (А.5). Из сравнения следует, что если в уравнении (А.1) произвести замены ,, а, то оно перейдет в уравнение (А.5). Проводя указанные замены и совершая преобразования, аналогичные тем, которые проводились при выводе уравнения (А.4), получим следующее равенство:

. (А.6)

Равенство (А.6) является математической формулировкой закона электромагнитной индукции в дифференциальной форме.

А.3. Вывод теоремы Гаусса в дифференциальной форме

Запишем третье уравнение Максвелла в интегральной форме.

. (А.7)

Напомним, что величина , входящая в уравнение (А.7), определяется формулой (1.1). Используя эту формулу, получаем следующее выражение:

(А.8)

– объемная плотность электрического заряда.

Напомним формулировку теоремы Гаусса в интегральной форме: поток вектора через любую замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме зарядов, заключенных в объемеV, ограниченном этой поверхностью. Отсюда следует, что поверхность и объемв уравнении (А.8) жестко связаны между собой.

Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса (см. приложение Е)

,

которая утверждает, что поток произвольного вектора по любой замкнутой поверхностиS равен интегралу от дивергенции этого вектора по объему, ограниченному этой поверхностью.

Подставим последнюю формулу в соотношение (А.8), тогда можно записать, что

.

Последнее равенство можно переписать в следующем виде:

. (А.9)

Из формулировки третьего уравнения Максвелла в интегральной форме следует, что равенство (А.9) должно выполняться для произвольного объема. Отсюда следует, что для выполнения равенства (А.9) необходимо, чтобы выражение под интегралом в (А.9) было равно нулю в любой точке пространства, т.е. чтобы выполнялось следующее равенство:

или

(А.10)

Равенство (А.10) является математической формулировкой теоремы Гаусса в дифференциальной форме.

А.4. Вывод закона соленоидальности магнитного поля в дифференциальной форме

Запишем четвертое уравнение Максвелла в интегральной форме:

. (А.11)

Сравним между собой уравнения (А.7) и (А.11). Из сравнения следует, что если в уравнении (А.7) провести замены , а, то оно перейдет в уравнение (А.11). Проводя указанные замены и совершая преобразования, аналогичные тем, которые проводились при выводе уравнения (А.7), получим следующее равенство:

. (А.12)

Равенство (А.13) является математической формулировкой закона соленоидальности магнитного поля в дифференциальной форме.