Прямые методы анализа качества системы Аналитическое решение дифференциального уравнения

Прямые методы оценки качества системы автоматического управления основаны на получении тем или иным путём графика переходной характеристики системы с последующей оценкой качества переходного процесса по графику. Переходная характеристика может быть получена путем решения дифференциального уравнения системы автоматического управления или путем моделирования работы системы физическими методами.

Переходная характеристика системы при аналитическом решении получается в результате решения дифференциального уравнения замкнутой системы. Дифференциальное уравнение решается при входном воздействии в виде единичной ступенчатой функции . Полученное решение при этом описывает переходную характеристику системы.

Замкнутая система автоматического управления описывается передаточной функцией замкнутой системы

.

Из выражения передаточной функции можно получить дифференциальное уравнение системы в операторной записи

.

При исследовании качества системы необходимо получить переходный процесс при единичном ступенчатом входном воздействии

,

в этом случае уравнение системы примет вид

.

Решение дифференциального уравнения в виде функции описывает переходную характеристику системы. Полное решениескладывается из общего решения однородного уравнения без правой части

и частного (или вынужденного) решения, определяемого правой частью дифференциального уравнения:

.

Общее решение однородного обыкновенного линейного дифференциального уравнения порядка nимеет вид

,

где – корни характеристического уравнения;– постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.

После получения решения строится по точкам график этой функции, который и будет графиком переходной характеристики системы. Показатели качества системы устанавливаются по виду графика. При этом используются рассмотренные выше оценки качества переходного процесса в системе.