5.4. Переходные характеристики цепей первого порядка.

Цепи первого порядка содержат только один энергоемкий элемент – емкость или индуктивность – и описываются дифференциальными уравнениями первого порядка. Откликом можно считать ток в любой интересующей нас ветви или напряжение на любом интересующем нас элементе. Соответственно, можно рассматривать различные переходные характеристики.

Интегрирующая RC-цепь.

Цепь, состоящая из RC-элементов и приведенная на рис. 5.1 называется интегрирующей RC-цепью.

Подставим полученные напряжения в первое выражение:

.

Если R >> , то R = или .

Последнее означает, что выходной сигнал есть интеграл от входного сигнала. Отсюда и название этой цепи – интегрирующая цепь.

Рассмотрим по входному сигналу два частных случая.

А ). Переходная характеристика. Пусть входной сигнал – ступенчатое напряжение амплитудой Е (рис. 5.2) . Используя классический метод, определим отклик цепи при нулевых начальных условиях.

1) Составим дифференциальное уравнение и приведем его к стандартному виду

.

2) Запишем общее решение:

u₂(t) = Ae^pt + u₂()

3) Найдем коэффициент р – корень характеристического уравнения

RCр + 1 = 0.

Отсюда р = – (RC)^–1.

4) Найдем вынужденную составляющую общего решения

Для нахождения вынужденной составляющей составим схему замещения исходной цепи при ω = 0 (рис. 5.3а). Из схемы следует, что u₂() = Е.

Отсюда р₁= –(RC)^–1.

5) Найдем постоянную интегрирования A.

Ее находим из общего решения при t  0 и схемы замещения исходной цепи при t  0 (ω  ∞) (рис.5.3б). Запишем уравнение, откуда и найдем А

u₂(0)=A +E =0; A = –E.

6) Запишем общее решение:

.

Выходное напряжение представляет собой импульс, характеризующийся двумя параметрами: амплитудой Е и постоянной времени цепи τ=RC.

.

Отсюда следует, что постоянная времени – это время, за которое импульс, возрастая по экспоненциальному закону, изменяется от 0 до уровня 0,63 от своего стационарного значения Е (рис. 5.4).

И

0,63E

Переходная характеристика выходного напряжения h_u2 по определению равна

Переходная характеристика входного тока будет, соответственно,

С(du_Cc/dt)/E=

При воздействии ступенчатым напряжением h_i имеет размерность проводимости и называется переходной проводимостью.

Б). Отклик на прямоугольный импульс (рис. 5.5) амплитудой Е и длительностью t_и. Такой импульс представляет собой суперпозицию двух ступенчатых сигналов и записывается как

.

Зная отклик на ступенчатый сигнал и используя принцип суперпозиции, можно записать аналитическое выражение для выходного сигнала:

На рис. 5.6 показаны три временных диаграммы выходного сигнала при различных соотношения между τ и t_и.

Аналогичными свойствами обладает цепь, состоящая из RL-элементов (рис. 5.7). Она называется интегрирующей RL-цепью. Постоянная времени этой цепи =L/R.

Дифференцирующая RC-цепь

Р ассмотрим RC-цепь, представленную на рис.5.8, на вход которого подается ступенчатое напряжение амплитудой Е: (рис. 5.2). Используя классический метод, определим отклик цепи при нулевых начальных условиях.

Используя второй закон Кирхгофа и соотношения (5.1), устанавливающие связь между напряжениями и токами на элементах схемы, запишем

Подставим полученные напряжения в первое выражение, умножим на RC и продифференцируем один раз по времени

Если в этом соотношении считать, что . Последнее означает, что выходной сигнал есть производная от входного сигнала, поэтому эта цепь называется дифференцирующей цепью.

Общее решение уравнения имеет вид

u₂(t) = Ae^pt + u₂()

Коэффициент р является корнем характеристического уравнения

RCр + 1 = 0.

Отсюда р = – (RC)^–1.

Вынужденную составляющую находим в стационарном (установившемся) режиме, когда t  ∞. В этом случае входной сигнал – постоянное напряжение величины , ему соответствует гармонический сигнал с нулевой частотой ω = 0, так как E = E cos ωt|_(ω=0). При таких условиях наличие индуктивности равносильно короткому замыканию (Х_L = ωL), а емкости – разрыву цепи (Х_С = (ωС)^–1).

Для нахождения вынужденной составляющей составим схему замещения исходной цепи при ω = 0 (рис. 5.9). Из схемы следует, что u₂(∞)= 0.

Найдем постоянную интегрирования A.

Постоянные интегрирования находят из начальных условий для искомой функции и ее производных (при t = +0). Значения токов и напряжений в начальный момент времени после коммутации (при t = +0) определяют из схемы замещения исходной цепи, образованной после коммутации (с учетом законов коммутации) по законам Кирхгофа. При нулевых начальных условиях наличие индуктивности равносильно разрыву цепи (i_L(–0)=i_L(+0)=0), а емкости – короткому замыканию (u_c(–0) = u_c(+0)=0).

Аналогичную схему замещения можно получить, если считать, что ступенчатому сигналу в начальный момент времени (t=+0) соответствует гармонический с бесконечно большой частотой (ω  ∞).

Для дифференцирующей RC-цепи схема в момент после коммутации (при t = +0, ω  ∞) приведена на рис. 5.10, а постоянную A находят подставляя в общее решение t=0 и u₂():

6) Запись общего решения:

.

Выходное напряжение представляет собой экспоненциальный импульс, который характеризуется двумя параметрами (рис.5.11):

1) Е – амплитуда импульса;

2) τ – постоянная времени цепи. Определим выходной сигнал при t = τ.

.

Отсюда следует, что постоянная времени – это время, за которое импульс, убывая по экспоненциальному закону, изменяется от Е до уровня 0,37Е (т.е. убывает в е = 2,71 раза).

Иногда пользуются третьим параметром: t_уст – время установления выходного напряжения, это время, за которое сигнал достигает своего стационарного значения с заданной точностью от амплитуды импульса. Так, время установления на уровне 0,1 и 0,05 составляет t_уст 0,1 = 2,3τ; t_уст 0,05 = 3τ.

Переходная характеристика выходного напряжения h_u2 по определению равна

Зная решение для интегрирующей цепи, можно сразу получить решение для дифференцирующей цепи и наоборот, поскольку u₁(t)=u_C+u_R. В частности, когда u₁(t)=E1(t)

u_R =E-E(1-e^-t/)=E e^-t/.

Б). Пусть входной сигнал – одиночный прямоугольный импульс (рис. 5.12) амплитудой Е и длительностью t_и. Такой импульс представляет собой суперпозицию двух ступенчатых сигналов и записывается как

.

Зная отклик на ступенчатый сигнал и используя принцип суперпозиции, можно записать аналитическое выражение для выходного сигнала:

.

На рис 5.13 показаны три временные диаграммы выходного сигнала при различных соотношения между τ и t_и.

E

Рис. 5.12 Рис. 5.13

В зависимости от соотношения между τ и t_и эта схема имеет три названия.

Если τ << t_и, то цепь называется дифференцирующей RC-цепью (рис. 5.13 а).

Если τ ≈ t_и, то цепь называется укорачивающей RC-цепью (рис. 5.13б).

Если τ >> t_и, то цепь называется разделительной RC-цепью (рис. 5.13 в).

Рассмотрим процессы, протекающие в цепи при воздействии на вход прямоугольного импульса при нулевых начальных условиях u_c(–0) = 0.

Напряжения на элементах связаны вторым законом Кирхгофа: u₁ = u_c + u_R.

При t < 0 u₁ = 0, u_С = 0, следовательно, u_R = 0. Это исходное состояние.

При t = +0 u₁ = Е, u_С = 0, E = 0 + u_R. Следовательно, u_R = Е.

При t > 0 E = u_c + u_R. Происходит заряд конденсатора.

С током i_зар заряда напряжение на нем возрастает, а на резисторе (на выходе) убывает от Е к нулю.

При t = t_и–0 E = u_C(t_и)_,+ u_R(t_и)_,. К моменту окончания импульса u_С = u_С(t_и)_, u_R = Е – u_С(t_и).

При t > t_и+0 u₁ = 0 = u_c + u_R.. Следовательно, u_R = –u_c. Поэтому знак выходного напряжения меняется на противоположный.

Цепь, состоящая из RL-элементов (рис5.14), выполняет аналогичные преобразования над входными сигналами и называется дифференцирующей RL-цепью.