5.3. Классический метод анализа

Данный метод сводится к составлению и решению дифференциального уравнения, устанавливающего связь между откликом и воздействием. Порядок применения метода следующий.

1) составление дифференциального уравнения и приведение его к стандартному виду.

Уравнение составляется на основе законов Ома и Кирхгофа, а также с использованием метода контурных токов, узловых потенциалов и других. При составлении уравнения используют следующие соотношения:

; (5.1а)

; (5.1б)

. (5.1в)

При составлении уравнения за неизвестные принимают переменные состояния цепи, т.е. величины, которые отражают энергетическое состояние цепи. К ним относят u_C и i_L. Составленные уравнения цепи после преобразований, приведения подобных членов и дифференцирования сводят к неоднородному линейному уравнению.

Общий вид линейного неоднородного дифференциального уравнения (ЛНДУ):

, (5.2)

где y(t) – отклик; х(t) – воздействие; a_i – постоянные, зависящие от R, L, C;

n – порядок дифференциального уравнения (ДУ). Порядок ДУ зависит от числа реактивных элементов и схемы их соединения. В простейшем случае число реактивных элементов равно n.

2) Запись общего решения ЛНДУ.

Оно состоит из суммы двух составляющих:

y(t) = y₁(t) + y₂(t).

y₁(t) – общее решение однородного линейного дифференциального уравнения, когда f = 0. Это решение не зависит от воздействия (x) и называется свободной составляющей общего решения, которое известно и равно:

,

где p_i – корни характеристического уравнения, A_i – постоянные интегрирования. Характеристическое уравнение получается из дифференциального путем замены производных на алгебраическую переменную p в степени, соответствующей порядку производной ( на ):

y₂(t) – это частное решение НЛДУ, оно зависит от x(t), а потому называется вынужденной составляющей общего решения.

3) Нахождение вынужденной составляющей y₂(t).

Свободная составляющая реакции цепи с течением времени затухает, поэтому вынужденная составляющая y₂(t) при t представляет собой установившееся значение искомого тока или напряжения после коммутации. Для ее нахождения можно воспользоваться рассмотренными ранее методами анализа цепей в установившемся режиме.

4) Нахождение корней p_i характеристического уравнения.

5) Нахождение постоянных интегрирования A_i.

Постоянные интегрирования общего решения определяются из начальных условий (при t = 0) для искомой функции и ее производных:

; ; .

Конкретные значения этих функций при t = 0 находят из схем замещения исходной цепи при t = +0 с учетом законов коммутации для L, C-элементов. Если входной сигнал – ступенчатая функция, то мгновенному изменению входного сигнала при t = 0 соответствует гармонический сигнал с   , а потому искомые значения находят из схемы замещения исходной цепи при   .

6) Анализ корней характеристического уравнения и запись окончательного решения.