5.7. Операторный метод анализа

Операторный метод анализа основан на операторном представлении сигналов и использовании операторной функции цепи.

П орядок расчета переходных характеристик при нулевых начальных условиях заключается в следующем:

1) находим операторное представление входного сигнала прямым преобразованием Лапласа (5.3):

L[s(t)]= (5.3)

2) находим операторную передаточную функцию цепи H(p). При нулевых начальных условиях она получается из комплексной передаточной функции заменой j на p:

;

3) умножением на операторную функцию цепи находится операторное представление отклика:

;

4) с помощью обратного преобразования Лапласа находим отклик цепи:

. (5.4)

Обратное преобразование по (5.4) часто является сложным, поэтому в инженерной практике пользуются справочными таблицами.

При ненулевых начальных условиях операторная схема замещения кроме операторных сопротивлений (рис.4.36) содержит независимые источники напряжения или тока, характеризующие начальные запасы энергии в индуктивностях и емкостях. В этом состоит существенное отличие операторной схемы замещения от частотной схемы, которая отражает установившиеся процессы и поэтому не зависят от начальных условий.

С учетом начальных условий

, отсюда, преобразуя по Лапласу, получаем

или

Э тим выражениям соответствуют схемы замещения, приведенные на рис.5.20.

Изображение напряжения на конденсаторе записывается в виде:

, или .

С хемы замещения приведены на рис. 5.21.

Операторная схема замещения находится на основе законов Ома и Кирхгофа в операторной форме с учетом начальных условий.

З акон Ома в операторной форме. Пусть имеется некоторая ветвь m – n (рис. 5.22), выделенная из некоторой сложной цепи. Замыкание ключа во внешней цепи приводит к переходному процессу, при этом начальные условия для тока в ветви и напряжения на конденсаторе в общем случае ненулевые. Для мгновенных значений переменных можно записать:

.

Тогда на основании приведенных соотношений получим:

.

Отсюда ,

где Z(p) = R + Lp + 1/Cp – операторное сопротивление рассматриваемого участка цепи, которое соответствует комплексному сопротивлению Z(j) ветви в цепи синусоидального тока при замене оператора р на j.

Слагаемое Li(0) представляет собой внутреннюю ЭДС, обусловленную запасом энергии в магнитном поле индуктивной катушки вследствие протекания через нее тока i(0) непосредственно до коммутации. Слагаемое U_C(0)/p представляет собой внутреннюю ЭДС, обусловленную запасом энергии в электрическом поле конденсатора вследствие наличия на нем напряжения U_C(0) непосредственно до коммутации. Внутренняя ЭДС Li(0) направлена согласно с направлением тока, внутренняя ЭДС U_C(0)/p – встречно току.

Законы Кирхгофа в операторной форме.

Первый закон Кирхгофа. Алгебраическая  сумма  изображений  токов, сходящихся в узле, равна нулю

.

Второй  закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма изображений  ЭДС,  действующих в контуре, равна алгебраической сумме изображений напряжений на пассивных элементах этого контура:

,

где m – число ветвей, входящих в контур.

При записи уравнений по второму закону Кирхгофа следует помнить о необходимости учета ненулевых начальных условий (если они имеют место). С их учетом последнее соотношение может быть переписано в развернутом виде

.

Когда получается сложное изображение, которого нет в справочниках, то его раскладывают на более простые, используя теорему разложения L-изображения S(p).

Если изображение S(p) представлено в виде отношения двух полиномов от р, не имеющих общих корней:

,

причем m  n, а уравнение M(p) = 0 не имеет кратных корней , то для перехода к оригиналу можно воспользоваться теоремой разложения

.

где M(p) – первая производная знаменателя по p: M(p)=dM(p)/dp.