5.5. Расчет переходных характеристик последовательного колебательного контура

Схема последовательного колебательного контура приведена на рис. 5.15 а.

Для расчета переходной характеристики установим связь между выходным u₂ и входным u₁ напряжениями. Входной сигнал имеет вид ступенчатого напряжения , тогда переходная характеристика h(t) находится из выражения h(t) = u₂(t)/E, где u₂(t) – выходное напряжение.

Задачу будем решать классическим способом. За переменную в составляемом уравнении выбираем переменную, характеризующую энергетическое состояние цепи и наиболее просто связанную с выходным сигналом. Такой переменной является напряжение на конденсаторе u_С(t) = u₂(t).

1) Составим дифференциальное уравнение относительно переменной состояния цепи и приведем его к стандартному виду.

Данная цепь представляет контур, а потому, используя второй закон Кирхгофа и соотношения между напряжениями и токами на элементах схемы, запишем:

; , .

Отсюда ; .

Подставим полученные напряжения в первое выражение:

.

Поделим на LC и введем обозначения .

Получим

2) Запишем общее решение:

3) Найдем вынужденную составляющую общего решения .

Для этого составим схему замещения исходной цепи при t  ∞, соответствующую (рис. 5.15 б), из которой и получим

=E

4) Найдем коэффициенты показателей экспоненты р₁ и p₂, которые являются корнями характеристического уравнения:

.

Отсюда .

5) Найдем постоянные интегрирования А₁, А₂ из начальных условий, т.е. при t = +0 для искомой функции, и ее производной согласно схеме в момент после коммутации (при t = +0, ω  ∞), которая приведена на рис. 5.15 в.

Составим систему:

; ,

или, в матричной форме: , – из решения которой и находим А₁ и А₂: .

6) Анализ корней и запись окончательного решения:

а) если , то корни – отрицательные действительные числа. Тогда

,

И окончательное решение записывается так:

Учитывая, что ; , а также, что при βt  0, , окончательно получим:

.

Такое решение называется апериодическим (рис. 5.16).

; ,

то при α << β, получим следующее (рис. 5.17):

Здесь ω₀ = (LC)^–1 – собственная частота колебательного контура; β = (ω₀² – α²)^1/2 – частота собственных колебаний в контуре при наличии резистивных потерь; α = R/(2L) – скорость затухания собственных колебаний в контуре, α =1/τ, где τ = 2L/R – постоянная времени контура.