Исследование устойчивости плановых решений

При использовании детерминированной модели линейного программирования (5.1), (5.2) для определения планов выпуска продукции или оказания услуг для реальных предприятий координаты векторов c, b и элементы матрицы A считаются детерминированными величинами, хотя в реальности они имеют интервальную неопределенность:

c_i[ c_{i min}, c_{i max}], ; (5.3)

a_ij[ a_{ij min}, a_{ij max}], , ; (5.4)

b_i[ b_{i min}, b_{i max}], . (5.5)

Полученные плановые решения по детерминированной однокритериальной модели линейного программирования (5.1), (5.2) далеки от реальных оптимальных решений, так как не учтены интервальные неопределенности параметров (5.3) – (5.5). С учетом интервальной неопределенности параметров целевой функции (5.3) и параметров ограничений (5.4), (5.5) задача определения оптимального реального плана имеет вид:

; (5.6)

(5.7)

(5.8)

, ; (5.9)

, ,; (5.10)

, . (5.11)

Для наглядности представления области решения с использованием графического метода рассмотрим задачу (5.3) – (5.11) при n=2. В этом случае задача планирования должна быть представлена в виде

; (5.12)

(5.13)

; (5.14)

, ; (5.15)

, ,; (5.16)

, . (5.17)

При исследовании устойчивости решения исходной задачи (5.12) – (5.14) необходимо рассмотреть последовательно влияние неопределенностей параметров (5.12) – (5.14).

Сначала рассмотрим влияние интервалов неопределенности параметров c_i на устойчивость решения исходной задачи (5.12) – (5.14)

;

;

, .

При проверке на устойчивость мы должны перейти к многокритериальной задаче линейного программирования, где частные критерии оптимальности определяются «конусом критериев», внутри которого находится n-мерный куб C, координаты которого определяются условием (5.3), а допустимая область S определяется условиями (5.7), (5.8). При n=2 решается двукритериальная задача

; (5.18)

; (5.19)

,

где S – допустимая область решений, задаваемая ограничениями (5.13), (5.14).

Графическая иллюстрация допустимой области решения S, градиентов функций f, f₁, f₂ и области изменений С градиента целевой функции f приведена на рис. 5.4.

Рис. 5.4

При определении устойчивости необходимо использовать следующее правило:

Решение исходной задачи (5.12) – (5.14) устойчиво, если оно совпадает с решением многокритериальной задачи (5.18), (5.19), в противном случае решение неустойчиво при интервальной неопределенности .

Пример 3.

Определение устойчивости решений для задачи оптимального планирования, приведенной в примере 2.

f = 0,25x₁ + 0,3x₂ max;

x₁ + x₂  100;

x₁ ≥ 50;

x₂ ≥ 10;

x₁  0; х₂  0.

;

;

c_{1 min} =0,15

c_{1 max} =0,35

c_{2 min} =0,2

c_{2 max} =0,4

f₁= 0,15x₁ + 0,4x₂ max,

f₂= 0,35x₁ + 0,2x₂ max,

Рис.5.5.

Решение исходной задачи неустойчиво, так как решение двукритериальной задачи не совпадает с решением исходной задачи.

При интервальной неопределенности параметров (5.16) модель задачи оптимального планирования имеет вид

;

.13)

(5.14)

, ,.(5.16)

Допустимая область решений, представляющая собой многогранник, деформируется. Один из возможных вариантов деформации допустимого множества показан на рис. 5.6.

Рис. 5.6

При интервальной неопределенности параметров (5.16) решение исходной задачи (5.12) – (5.14) неустойчиво.

При интервальной неопределенности параметров (5.17) модель задачи оптимального планирования имеет вид

,

Допустимая область решений, представляющая собой многогранник, деформируется. Один из возможных вариантов деформации допустимого множества показан на рис. 5.7.

Рис. 5.7

При интервальной неопределенности параметров (5.17) решение исходной задачи (5.12) – (5.14) неустойчиво.

При интервальной неопределенности одновременно параметров, представленных формулами (5.15), (5.16) или (5.15), (5.17) решение исходной задачи (5.12) – (5.14) неустойчиво.