11. Перестановки

Рассмотрим различные упорядочения n элементного множества Х (вектора длины n, составленные из n элементного множества). В отличие от декартова произведения, полученные при этом векторы, отличаются лишь порядком следования элементов и называются перестановками без повторений из n элементов. Число перестановок без повторений из n элементов обозначается P_n. К перестановкам без повторений можно прийти, полагая, что осуществляется размещение без повторений из n элементов по n:

Считается, что 0!=1.

Пример. Сколько существует возможных последовательностей выполнения проверок финансовой деятельности трех подразделений?

Требуется получить число перестановок без повторений из трех элементов, т.е. Р₃=3!=6.

Получим все эти последовательности:

(1,2,3), (1,3,2), (2,3,1), (2,1,3), (3,1,2), (3,2,1).

Пример. Сколько можно составить пятизначных шифров-чисел, не кратных 5, из цифр 1,2,3,4,5 без повторений цифр?

Всего из пяти цифр можно составить Р₅=5!=120 пятизначных шифров-чисел, но они будут включать и кратные 5. Сколько будет шифров кратных 5? Из данного набора чисел кратными 5 могут быть числа, содержащие 5 в младшем разряде. Если цифру 5 записать в младшем разряде, то остальные цифры 1,2,3,4 можно распределить по разрядам Р₄=4!=24 способами. Таким образом, число пятизначных шифров из чисел 1,2,3,4,5 без повторения чисел и не кратных 5 будет 120-24=96.

Перестановки без повторений можно интерпретировать как различные варианты векторов, состоящих из неповторяющихся компонентов, получаемые перестановкой компонентов.

По аналогии при наличии одинаковых компонент в некотором векторе получаем задачу оценки так называемых перестановок с повторениями данного состава [23].

Рассмотрим вначале пример: сколько различных последовательностей – кодов можно получить, переставляя цифры в числе 010, т.е. векторов длины k=3 из 2-х элементного множества В={0,1}, содержащих два нуля.

Имеется всего три разряда, которые обозначим р₁, р₂, р₃. Их можно переставить р₃=3!=6 способами. Запишем различные получаемые сочетания разрядов и соответствующие коды:

Видно, что коды повторяются тогда, когда несущественен порядок следования разрядов с одинаковой цифрой 0 (р₁,р₃). Все это соответствует тому факту, что имеется два способа (2!) перестановки этих разрядов (р₁,р₃), (р₃,р₁) без изменения кода, т.е. неповторяющихся кодов будет меньше во столько раз, сколько имеется способов перестановки повторяющихся разрядов.

Рассмотрим более сложный случай.

Сколько различных «слов», не обязательно имеющих смысл, можно получить, переставляя буквы в слове «кишмиш»?

Здесь шесть букв слова можно переставить друг с другом р₆=6!=720 способами, но в данном слове буквы «и» и «ш» повторяются дважды и при их перестановке слова могут повторяться. Сколько же существует вариантов перестановок этих букв без изменения слова? Первый вариант – исходный, второй – поменять местами буквы «и», третий – поменять местами буквы «ш», четвертый – поменять местами как буквы «и», так и буквы «ш». Всего четыре варианта. С учетом того, что эти четыре варианта участвуют в порождении 720 способов, получим 720/4=180 различных «слов». Можно показать, что число раз, во сколько уменьшается количество слов по сравнению с числом перестановок без повторений, представляет собой произведение факториалов количества повторяющихся букв.

Таким образом, если из n элементов множества Х={x₁,x₂,...,x_n} составлен вектор V длины k, причем каждому i-му компоненту можно поставить в соответствие число k_i, указывающее его число повторений в V, то задан вектор S=(k₁,k₂,...,k_n), который называется составом данного вектора.

Так, для Х={0,1,2,3} и V=(010223), состав: S=(2,1,2,1).

Векторы одного и того же состава, отличающиеся лишь порядком компонент, называются перестановками с повторениями данного состава.

Общая формула числа перестановок с повторениями данного состава имеет вид

Р(k₁,k₂,...,k_n)=.

Пример. Сколько различных кодовых последовательностей можно получить перестановками кода 102202030?

Такому вектору, составленному из элементов множеств {0,1,2,3} соответствует вектор состава (1,4,3,1), поэтому число различных кодовых комбинаций определяется как число перестановок с повторениями этого состава

Р(1,4,3,1)=.