5.3. Законы распределения времени между отказами

Поскольку отказы сложных технических систем возникают в случайные произвольные моменты времени, следовательно, и время работы систем между отказами и до отказа также является непрерывной случайной величиной. Отсюда следует, что одной из полных характеристик надежности систем или их элементов (особенно для невосстанавливаемых систем) должен служить закон распределения времени работы до отказа (между отказами) в дифференциальной форме в виде плотности вероятности , либо в интегральной форме в виде функции распределения. Таким образом, задача сводится к выявлению и математическому описанию такого закона, который отражал бы с высокой степенью достоверности объективную реальность. Основаниями для использования законов служат: опытные данные испытаний изделий или образцов, сведения об аналогах, эксплуатационные наблюдения, теоретические предпосылки.

Поскольку закон распределения времени между отказами позволяет достаточно просто определить другие характеристики безотказности, то его можно использовать для прогнозирования поведения системы с точки зрения вероятности возникновения отказа. Время между отказами, число отказов систем могут иметь различные законы распределения. Для большинства технических систем (механических, электрических, электромеханических, электронных, гидравлических, пневматических, вакуумных и др.) наиболее характерными являются законы распределения случайной величины Вейбулла-Гнеденко, экспоненциальный, Релея, нормальный. При проведении исследований и расчетов необходима обязательная проверка статистических гипотез о правомерности применения законов.

Закон распределения Вейбулла-Гнеденко используется при определении уровня надежности в период приработки, сроков службы подшипников качения, наработки на отказ по критерию усталостной прочности и неремонтируемых изделий. Интегральная функция, характеризующая вероятность отказа имеет вид

,

а вероятность безотказной работы

.

Плотность вероятности (дифференциальная функция), характеризующая частоту отказов

.

Распределение Вейбулла-Гнеденко двухпараметрическое, параметрами являются положительные постоянные и.

Графическая интерпретация интегральной и дифференциальной функций распределения Вейбулла-Гнеденко представлена на рисунке 7.

Рисунок 7. Интегральная и дифференциальная функции распределения Вейбулла-Гнеденко

Закону распределения Релея подчиняются существенно положительные величины, например, биения (эксцентриситеты) цилиндрических деталей. Этот закон является частным случаем закона Вейбулла-Гнеденко при =2.

Интегральная функция

,

.

Плотность вероятности .

Экспоненциальный закон распределения применим к изделиям, не испытывающим износа или старения, или эти процессы протекают медленно. Для малых промежутков времени, когда величина этого промежутка несравнимо мала по отношению к длительности процессов изнашивания и старения, ошибка в использовании весьма незначительна и ею можно пренебречь. Этот закон является частным случаем закона Вейбулла-Гнеденко при =1. Интегральная функция закона

,

.

Плотность вероятности .

Закону нормального распределения подчиняется время безотказной работы элементов, связанное с постепенным изменением параметров за счет старения, усталости, износа; а также в тех случаях, когда на процессы оказывает влияние большое количество не связанных между собой факторов. Интегральная функция распределения отражается законом Гаусса

, а плотность вероятности

, где

‑ среднее квадратическое отклонение.

Вероятность безотказной работы ,

где ‑ функция Лапласа, имеющая табулированные значения,

– квантиль нормального распределения

.

Вопросы для самоконтроля

1. В чем преимущества оценки безотказности через вероятность безотказной работы?

2. Что такое наработка на отказ? Чем она отличается от наработки до отказа?

3. Что характеризует показатель интенсивности отказа?

4. Существует ли закономерность в изменении потока отказов во времени?

5. Какая связь между наработкой на отказ и параметром потока отказов?

6. Существует ли закономерность в распределении времени между отказами?

7. Что характеризует плотность вероятности распределения времени безотказной работы?

8. В каких случаях целесообразно использовать закон распределения Вейбулла-Гнеденко?

9. В каких случаях применим закон нормального распределения для характеристики времени безотказной работы?

«Вечного нет ничего, да и долговечно тоже немногое»

Сенека

Лекция 6. Долговечность. Свойства и показатели оценки