3. 25. Метод, базирующийся на теореме о конечном значении z- преобразования.
Этот метод позволяет находить установившуюся ошибку при задающих воздействиях в виде степенной функции порядка l:
, , (89)
При таком воздействии последовательность ошибки стремится к пределу, т.е.
,
так что установившаяся ошибка цифровой системы представляет собой последовательность равных между собой чисел (постоянную последовательность). Используя теорему о конечном значении, находим выражение
, (90)
дающее возможность оценить установившуюся ошибку с помощью Z-преобразования
,
последовательности ошибки.
Ограничимся рассмотрением цифровой системы с единичной обратной связью, для которой
, (91)
где
,
- Z-преобразование задающей последовательности.
Представляя передаточную функцию разомкнутой системы в стандартной форме, т. е. в виде
, ,
где - число дискретных интеграторов (диграторов), k - безразмерный коэффициент усиления, из (91) имеем
. (92)
Заметим, что , где - размерный коэффициент усиления. Подставлял (92) в (90), получаем формулу для установившегося значения ошибки
. (93)
Используем (93) для двух частных случаев:
а) пусть l=0, так что в соответствие с (88) задающее воздействие является постоянным сигналом при , т. е.
, .
При этом задающая последовательность
,
а ее Z-преобразование
.
Следовательно, формула (93) в этом случае принимает вид:
. (93)
Установившаяся ошибка при постоянном задающем воздействии называется статической ошибкой и обозначается .
Если , то
.
Система, для которой статическая ошибка отлична от нуля, называется статической.
Если , то . Система, обеспечивающая безошибочное воспроизведение постоянного задающего воздействия, т.е. обеспечивающая равенство нуля статической ошибки, называется астатической (нестатической). Таким образом, передаточная функция астатической цифровой разомкнутой системы включает в себя по меньшей мере один дигратор. Число таких диграторов определяет порядок астатизма цифровой системы с единичной: обратной связью. Если , то система обладает астатизмом первого порядка; если , то система имеет астатизм второго порядка и т.д.;
б) пусть l=1, при этом согласно(88) задающее воздействие представляет собой сигнал, изменяющийся с постоянной скоростью , описываемый выражением
, .
Этому сигналу соответствует задающая последовательность
,
Z-преобразование которой имеет вид
.
В этом случае установившаяся ошибка (93), называемая скоростной ошибкой или ошибкой по скорости, определяется как
. (94)
Если система статическая ( ), то . Для системы с астатизмом первого порядка ( ) скоростная ошибка
.
обратно пропорциональна размерному коэффициенту усиления и не зависит от величины периода дискретизации Т. .Если же система обладает астатизмом по крайней мере второго порядка ( ), ошибка по скорости равна нулю.
В общем случае, когда задающее воздействие описывается степенной функцией порядка l, с помощью (92) можно установить, что
Число интеграторов в разомкнутой системе определяет класс задающих воздействий, для которых нет установившейся ошибки. Если разомкнутая система имеет интеграторов, то ошибка
в установившемся режиме будет равна нулю (при условии, что система асимптотически устойчива) для задающих воздействий, которые являются многочленами от i порядка, меньшего или равного (v-1).
Пример.
Рассмотрим разомкнутую систему
.
При этом z- преобразование ошибки замкнутой системы (рис. 25) определяется как
.
Предположим, что v - единичная ступенчатая функция. Так как замкнутая система устойчива, можно применить теорему о конечном значении, чтобы показать, что статическая ошибка равна нулю. Это легко сделать, положив z=1. Можно поступить иначе и воспользоваться тем, что разомкнутая система содержит один интегратор, т.е. полюс в точке +1.
Если v - сигнал, изменяющийся с постоянной скоростью, то установившаяся ошибка определяется соотношением:
.
- Лекция 19
- Опустить
- 3. 20. Структурная схема цифровой системы с обратной связью.
- Лекция 20
- 3. 21. Передаточные функции цифровой системы управления с обратной связью.
- Лекция 21
- 3. 22. Уравнения цифровой системы с обратной связью.
- 3. 23. Анализ цифровых систем с обратной связью (замкнутых цифровых систем). Анализ устойчивости.
- Опустить
- 3. 24. Анализ точности цифровых систем управления в установившемся режиме.
- 3. 25. Метод, базирующийся на теореме о конечном значении z- преобразования.
- 3. 26. Аналитический метод синтеза (метод размещения полюсов и нулей системы), основанный на моделях типа "вход-выход"
- Исходные данные
- Постановка задачи синтеза.
- Решение задачи.
- Лекция 22
- 3.27. Размещение полюсов замкнутой цифровой системы с помощью обратной связи по состоянию
- 3.28. Цифровой (дискретный) лкр-регулятор
- 3.29. Цифровой наблюдатель состояния
- 3.31. Цифровой лкг-регулятор (Цифровое линейно-квадратичное гауссовское управление)
- 3.32. Восстановление свойств замкнутой системы.
- Лекция 23 Читать
- 4. Нелинейные системы управления.
- 4. 1. Модели нелинейных систем управления
- 4. 2. Пространство состояний.
- 4. 3. Структурная расчетная схема нелинейной системы.
- Лекция 23
- 4. 4. Особенности процессов в нелинейных системах.
- 4. 5. Устойчивость нелинейных систем.
- 4.6. Понятие об устойчивости состояния равновесия.
- 4.7. Исследование устойчивости по линейному приближению.
- Лекция 24
- 4.8. Второй метод Ляпунова.
- Теоремы второго метода Ляпунова
- Пассивность
- 4.10. Частотный способ анализа устойчивости.
- 4. 6. Анализ процессов в нелинейных системах.
- Метод фазовой плоскости.
- Метод гармонического баланса.
- 1. Основные сведения.
- Лекция 25
- 2. Метод гармонической линеаризации.
- 3. Основное уравнение метода гармонического баланса.
- 4. Способ Гольдфарба.
- 5. Коррекция автоколебаний.
- 6 . Условия применимости метода гармонического баланса.
- 7. Насыщение исполнительного устройства
- Выбор постоянной времени слежения
- 8. Синтез нелинейной следящей системы методом линеаризации обратной связью
- 2.1. Линеаризация вход-состояние
- 2.2. Линеаризация вход-выход
- 2.3. Внутренняя динамика
- 2.4. Нуль-динамика
- 9. Синтез нелинейной следящей системы с помощью скользящего управления