3. 25. Метод, базирующийся на теореме о конечном значении z- преобразования.

Этот метод позволяет находить установившуюся ошибку при задающих воздействиях в виде степенной функции порядка l:

, , (89)

При таком воздействии последовательность ошибки стремится к пределу, т.е.

,

так что установившаяся ошибка цифровой системы представляет собой последовательность равных между собой чисел (постоянную последовательность). Используя теорему о конечном значении, находим выражение

, (90)

дающее возможность оценить установившуюся ошибку с помощью Z-преобразования

,

последовательности ошибки.

Ограничимся рассмотрением цифровой системы с единичной обратной связью, для которой

, (91)

где

,

- Z-преобразование задающей последовательности.

Представляя передаточную функцию разомкнутой системы в стандартной форме, т. е. в виде

, ,

где - число дискретных интеграторов (диграторов), k - безразмерный коэффициент усиления, из (91) имеем

. (92)

Заметим, что , где - размерный коэффициент усиления. Подставлял (92) в (90), получаем формулу для установившегося значения ошибки

. (93)

Используем (93) для двух частных случаев:

а) пусть l=0, так что в соответствие с (88) задающее воздействие является постоянным сигналом при , т. е.

, .

При этом задающая последовательность

,

а ее Z-преобразование

.

Следовательно, формула (93) в этом случае принимает вид:

. (93)

Установившаяся ошибка при постоянном задающем воздействии называется статической ошибкой и обозначается .

Если , то

.

Система, для которой статическая ошибка отлична от нуля, называется статической.

Если , то . Система, обеспечивающая безошибочное воспроизведение постоянного задающего воздействия, т.е. обеспечивающая равенство нуля статической ошибки, называется астатической (нестатической). Таким образом, передаточная функция астатической цифровой разомкнутой системы включает в себя по меньшей мере один дигратор. Число таких диграторов определяет порядок астатизма цифровой системы с единичной^: обратной связью. Если , то система обладает астатизмом первого порядка; если , то система имеет астатизм второго порядка и т.д.;

б) пусть l=1, при этом согласно(88) задающее воздействие представляет собой сигнал, изменяющийся с постоянной скоростью , описываемый выражением

, .

Этому сигналу соответствует задающая последовательность

,

Z-преобразование которой имеет вид

.

В этом случае установившаяся ошибка (93), называемая скоростной ошибкой или ошибкой по скорости, определяется как

. (94)

Если система статическая ( ), то . Для системы с астатизмом первого порядка ( ) скоростная ошибка

.

обратно пропорциональна размерному коэффициенту усиления и не зависит от величины периода дискретизации Т. .Если же система обладает астатизмом по крайней мере второго порядка ( ), ошибка по скорости равна нулю.

В общем случае, когда задающее воздействие описывается степенной функцией порядка l, с помощью (92) можно установить, что

Число интеграторов в разомкнутой системе определяет класс задающих воздействий, для которых нет установившейся ошибки. Если разомкнутая система имеет интеграторов, то ошибка

в установившемся режиме будет равна нулю (при условии, что система асимптотически устойчива) для задающих воздействий, которые являются многочленами от i порядка, меньшего или равного (v-1).

Пример.

Рассмотрим разомкнутую систему

.

При этом z- преобразование ошибки замкнутой системы (рис. 25) определяется как

.

Предположим, что v - единичная ступенчатая функция. Так как замкнутая система устойчива, можно применить теорему о конечном значении, чтобы показать, что статическая ошибка равна нулю. Это легко сделать, положив z=1. Можно поступить иначе и воспользоваться тем, что разомкнутая система содержит один интегратор, т.е. полюс в точке +1.

Если v - сигнал, изменяющийся с постоянной скоростью, то установившаяся ошибка определяется соотношением:

.