2.1. Линеаризация вход-состояние
Рассмотрим задачу регулирования применительно к объекту с одним входным сигналом u, описываемому нелинейным уравнением
.
Технология линеаризации вход-выход решает эту задачу в два шага:
- Найти преобразование состояния и преобразование входного сигнала такие, что динамика нелинейного объекта трансформируется в динамику эквивалентного линейного объекта, описываемого уравнением .
- Использовать стандартные методы линейной теории управления, чтобы спроектировать управление uэ.
Пример. Рассмотрим нелинейный объект второго порядка
(6)
Даже хотя спроектированный линейный регулятор может стабилизировать объект в малой окрестности точки равновесия (0,0), но совершенно не очевидно, что этот регулятор может стабилизировать его в целом. Специфическая трудность заключена в нелинейности, входящей в первое уравнение состояния (6), т.к. она не может быть сокращена с помощью управляющего сигнала u.
Рассмотрим следующее преобразование состояния
(7)
которое преобразует (6) в
(8)
Заметим, что новые уравнения состояния также имеют состояние равновесия в точке (0,0). Теперь нелинейности могут быть сокращены с помощью закона управления в виде
(9)
где uэ эквивалентное управление (эквивалентное в том смысле, что определение uэ равносильно определению u и наоборот). Этот закон приводит к линейным уравнениям состояния
(10)
Итак, проблема стабилизации исходного нелинейного объекта, описываемого уравнениями (6) и использующего исходный управляющий сигнал u, с помощью преобразования состояния (7) и преобразования управления (9) сводится к проблеме стабилизации преобразованного объекта, используя новый управляющий сигнал uэ. Теперь рассмотрим преобразованный объект, описываемый уравнениями (10). Нетрудно показать, что он является не только линейным, но и полностью управляемым. Используя хорошо известный линейный закон управления с обратной связью по состоянию , и выбирая коэффициенты =2, =0, так что
, (11)
получаем устойчивый преобразованный объект, описываемый уравнениями и . В рамках исходного вектора состояния найденный закон управления соответствует исходному управлению
. (12)
Исходное состояние x связано с z посредством соотношений
(13)
Структурная схема замкнутой системы с полученным выше законом управления представлена на рис. 1.
Рис. 1
Замечание. Чтобы обобщить приведенный выше метод нужно ответить на два вопроса:
- Какие классы нелинейных систем могут быть преобразованы в линейные системы?
- Каким путем можно найти соответствующие преобразования для тех систем, которые в принципе могут быть преобразованы в линейные
системы?
- Лекция 19
- Опустить
- 3. 20. Структурная схема цифровой системы с обратной связью.
- Лекция 20
- 3. 21. Передаточные функции цифровой системы управления с обратной связью.
- Лекция 21
- 3. 22. Уравнения цифровой системы с обратной связью.
- 3. 23. Анализ цифровых систем с обратной связью (замкнутых цифровых систем). Анализ устойчивости.
- Опустить
- 3. 24. Анализ точности цифровых систем управления в установившемся режиме.
- 3. 25. Метод, базирующийся на теореме о конечном значении z- преобразования.
- 3. 26. Аналитический метод синтеза (метод размещения полюсов и нулей системы), основанный на моделях типа "вход-выход"
- Исходные данные
- Постановка задачи синтеза.
- Решение задачи.
- Лекция 22
- 3.27. Размещение полюсов замкнутой цифровой системы с помощью обратной связи по состоянию
- 3.28. Цифровой (дискретный) лкр-регулятор
- 3.29. Цифровой наблюдатель состояния
- 3.31. Цифровой лкг-регулятор (Цифровое линейно-квадратичное гауссовское управление)
- 3.32. Восстановление свойств замкнутой системы.
- Лекция 23 Читать
- 4. Нелинейные системы управления.
- 4. 1. Модели нелинейных систем управления
- 4. 2. Пространство состояний.
- 4. 3. Структурная расчетная схема нелинейной системы.
- Лекция 23
- 4. 4. Особенности процессов в нелинейных системах.
- 4. 5. Устойчивость нелинейных систем.
- 4.6. Понятие об устойчивости состояния равновесия.
- 4.7. Исследование устойчивости по линейному приближению.
- Лекция 24
- 4.8. Второй метод Ляпунова.
- Теоремы второго метода Ляпунова
- Пассивность
- 4.10. Частотный способ анализа устойчивости.
- 4. 6. Анализ процессов в нелинейных системах.
- Метод фазовой плоскости.
- Метод гармонического баланса.
- 1. Основные сведения.
- Лекция 25
- 2. Метод гармонической линеаризации.
- 3. Основное уравнение метода гармонического баланса.
- 4. Способ Гольдфарба.
- 5. Коррекция автоколебаний.
- 6 . Условия применимости метода гармонического баланса.
- 7. Насыщение исполнительного устройства
- Выбор постоянной времени слежения
- 8. Синтез нелинейной следящей системы методом линеаризации обратной связью
- 2.1. Линеаризация вход-состояние
- 2.2. Линеаризация вход-выход
- 2.3. Внутренняя динамика
- 2.4. Нуль-динамика
- 9. Синтез нелинейной следящей системы с помощью скользящего управления