2. Метод гармонической линеаризации.
П од линеаризацией понимают приближенную замену нелинейной функции линейной таким образом, чтобы по какому-то выбранному показателю обе эти функции совпадали.
В способе гармонической линеаризации нелинейный Рис. 4 элемент заменяется квазилинейным звеном, параметры которого определяются при синусоидальном входном сигнале
(5)
из условия равенства амплитуд первых гармоник на выходе нелинейного элемента и эквивалентного ему линейного звена.
Рассмотрим процедуру линеаризации для статического нелинейного элемента, уравнение которого имеет вид
. (6)
При поступлении на его вход гармонического сигнала (5) на выходе звена также будет периодический, но несинусоидальный сигнал
. (7)
Разложим его в ряд Фурье и получим
, (8)
где будем полагать u0=0, что справедливо для симметричной нелинейной характеристики (6).
С учетом (7) коэффициенты ряда Фурье (8) определяются известными соотношениями
Используем только первые члены ряда разложения в (8), пренебрегая высшими гармониками, и получим
. (9)
Учтем, что , , следовательно,
(10)
После подстановки (10) в (9) получим выражение для выходного сигнала нелинейного звена, точнее для первой гармоники реакции звена на гармоническое воздействие
,
которое, если принять обозначения
(11)
можно записать в виде
. (12)
Здесь и - коэффициенты гармонической линеаризации, которые зависят только от амплитуды.
Как видим, уравнение нелинейного звена (12) с точностью до высших гармоник является квазилинейным. При постоянных значениях амплитуды входного сигнала А коэффициенты гармонической линеаризации q1(A) и q2(A) являются постоянными. Однако различным значениям амплитуды A соответствуют разные коэффициенты q1(A) и q2(A). В этом заключается отличие гармонической линеаризации от обычной.
Таким образом, вместо нелинейного элемента с характеристикой (6) можно рассматривать эквивалентное линейное звено, поведение которого описывается уравнением (12). Оно может быть представлено в изображениях по Лапласу
. (13)
Для гармонически линеаризованного нелинейного элемента можно записать передаточную функцию
, (14)
и получить из нее при выражение для частотной характеристики
. (15)
Для однозначной статической нелинейной характеристики коэффициент
q2 (A) = 0,
и вместо (15) получим
, (16)
Коэффициенты гармонической линеаризации типовых статических нелинейных звеньев приводятся в литературе.
Пример. Определить эквивалентную передаточную функцию нелинейного звена, которое представляет собой идеальное реле (рис. 5).
П оскольку идеальное реле имеет однозначную статическую характеристику, выражение для его передаточной функции (16) имеет вид
,
где коэффициент q1(A) определяется как
.
Далее, учитывая полученные выражения для передаточной функции гармонически линеаризованного Рис. 5
нелинейного элемента (14), рассмотрим соотношения метода гармонического баланса.
- Лекция 19
- Опустить
- 3. 20. Структурная схема цифровой системы с обратной связью.
- Лекция 20
- 3. 21. Передаточные функции цифровой системы управления с обратной связью.
- Лекция 21
- 3. 22. Уравнения цифровой системы с обратной связью.
- 3. 23. Анализ цифровых систем с обратной связью (замкнутых цифровых систем). Анализ устойчивости.
- Опустить
- 3. 24. Анализ точности цифровых систем управления в установившемся режиме.
- 3. 25. Метод, базирующийся на теореме о конечном значении z- преобразования.
- 3. 26. Аналитический метод синтеза (метод размещения полюсов и нулей системы), основанный на моделях типа "вход-выход"
- Исходные данные
- Постановка задачи синтеза.
- Решение задачи.
- Лекция 22
- 3.27. Размещение полюсов замкнутой цифровой системы с помощью обратной связи по состоянию
- 3.28. Цифровой (дискретный) лкр-регулятор
- 3.29. Цифровой наблюдатель состояния
- 3.31. Цифровой лкг-регулятор (Цифровое линейно-квадратичное гауссовское управление)
- 3.32. Восстановление свойств замкнутой системы.
- Лекция 23 Читать
- 4. Нелинейные системы управления.
- 4. 1. Модели нелинейных систем управления
- 4. 2. Пространство состояний.
- 4. 3. Структурная расчетная схема нелинейной системы.
- Лекция 23
- 4. 4. Особенности процессов в нелинейных системах.
- 4. 5. Устойчивость нелинейных систем.
- 4.6. Понятие об устойчивости состояния равновесия.
- 4.7. Исследование устойчивости по линейному приближению.
- Лекция 24
- 4.8. Второй метод Ляпунова.
- Теоремы второго метода Ляпунова
- Пассивность
- 4.10. Частотный способ анализа устойчивости.
- 4. 6. Анализ процессов в нелинейных системах.
- Метод фазовой плоскости.
- Метод гармонического баланса.
- 1. Основные сведения.
- Лекция 25
- 2. Метод гармонической линеаризации.
- 3. Основное уравнение метода гармонического баланса.
- 4. Способ Гольдфарба.
- 5. Коррекция автоколебаний.
- 6 . Условия применимости метода гармонического баланса.
- 7. Насыщение исполнительного устройства
- Выбор постоянной времени слежения
- 8. Синтез нелинейной следящей системы методом линеаризации обратной связью
- 2.1. Линеаризация вход-состояние
- 2.2. Линеаризация вход-выход
- 2.3. Внутренняя динамика
- 2.4. Нуль-динамика
- 9. Синтез нелинейной следящей системы с помощью скользящего управления