2.3 Применяемые при анализе схем обозначения и соглашения

Прежде всего сделаем ряд пояснений, касающихся таких фундаментальных понятий, как ток и напряжение. Мы не будем здесь подробно описывать физический смысл данных величин, поскольку предполагаем, что хотя бы с этиv читатель уже знаком. Напомним лишь стандартные правила имеющие отношение к представлению токов и напряжений в различных формулах, а также к их изображению на принципиальных схемах. В международной системе единиц напряжение выражают в вольтах (В), а ток в амперах (А).

Как известно, электрический ток — это упорядоченное движение носителей заряда. В любой электрической цепи упорядоченное движение зарядов происходит в одном из двух возможных направлений. Поэтому и электрический ток принято рассматривать как скалярную величину, имеющую одно из возможных направлений. За направление тока, независимо от природы носителей электрического заряда и их типа принимают направление, в котором перемещаются (или мог ли бы перемещаться) носители положительного заряда. Таким образом, направление электрического тока в наиболее распространенных проводниковых материалах — металлах — противоположно фактическому направлению перемещения носителей заряда — электронов. О направлении тока судят по его знаку, который зависит от того, совпадает или нет направление тока с направлением, условно принятым за положительное. Если в результате расчетов, выполненных учетом выбранного направления, ток получится со знаком плюс, то его направление, т.е. направление перемещения положительных зарядов, совпадает с направлением, выбранный за положительное. Если ток будет иметь знак минус, то его направление противоположно условно-положительном). Само условно-положительное направление тока при расчетах электрических цепей может выбираться совершение произвольно (обычно пользуются соображениями удобства расчетов).

Напряжение также представляет собой скалярную величину, которой всегда приписывают определенное направление. Обычно под направлением напряжения понимают направление, в котором под действием электрического поля перемещаются (или могли бы перемещаться) свободные носители положительного заряда. Очевидно, что на участках цепи, в которых не содержатся источники энергии, и перемещение носителей заряда осуществляется за счет энергии электрического поля, направления напряжения и тока совпадают.

При расчетах электрических цепей направление напряжениясравнивается с направлением, условно выбранным за положительное. Если в результате расчетов напряжение на рассматриваемом участке цепи получится со знаком плюс, то Направление напряжения совпадает с направлением, условно принятым за положительное; если напряжение получится со знаком минус, то его направление противоположно условно-положительному.

На принципиальных схемах направления токов и напряжений, принимаемые за условно-положительные, могут показываться стрелками.

Для обзначения токов и напряжений в формулах общепринятым является использование латинских букв I (для токов) и U (для напряжений).

При анализе цепей, находящихся под гармоническими воздействиями, широкое распространение получил символический метод комплексных амплитуд (комплексный метод, или, иногда просто — символический метод). Он основан на представлении гармонических функций с помощью комплексных чисел или, точнее, на преобразовании исходных гармонических функций из временной области (области вещественного переменного t) в частотную область (область мнимою аргумента jw).. Выглядит это так.

Каждой гармонической функции времени a(t)=А_т cos( t +ψ) можно поставить в соответствие копмплекснозначную зависимость

=А_т [cos( t + ψ ) + j sin ( t + ψ)] = .

Причем модуль комплексной величины a(t) равен амплитуде гармонической функции = А_т , а аргумент — ее фазе = t + ψ. Сама исходная действительная гармоническая функция равна действительной части введенной таким образом комплекснозначной функции:

Величина называется комплексной амплитудой гармонической функции времени

a(t)=А_т cos( t +ψ).

Известно, что в установившемся режиме работы токи и напряжения всех ветвей линейной электрической цепи, находящейся под гармоническим воздействием, являются функциями времени одной частоты, т.е. токи и напряжения отдельных ветвей в этом случае отличаются только амплитудами и начальными фазами, поэтому полная информация о них при известной частоте содержится в соответствующих комплексных амплитудах. Зная амплитуды и начальные фазы токов или напряжений любой ветви, всегда можно однозначно найти их комплексные амплитуды. И обратно, по известной комплексной амплитуде можно однозначно установить амплитуду и начальную фазу исходного гармонического колебания.

Таким образом, каждой гармонической функции времени a(t) можно единственным образом поставить в соответствие комплексное число (комплексную амплитуду), которое можно рассматривать как изображение этой гармонической функции на комплексной плоскости. Причем оказывается, что линейным операциям над гармоническими функциями времени соответствуют линейные операции над их комплексными амплитудами (операции дифференцирования и интегрирования заменяются при этом операциями умножения и деления). Это позволяет существенно упростить анализ линейных цепей, находящихся под гармоническим воздействием, заменив систему интегродифференциальных уравнений, составляемую для мгновенных значений токов и напряжений в ветвях цепи, системой алгебраических уравнений для комплексных амплитуд соответствующих токов и напряжений. Отметим также, что при рассмотрении чисто активных безынерционных линейных цепей (т.е. цепей без фазовых расхождений между сигналами в различных точках) все комплексные амплитуды становятся действительнозначными и анализ сводится к оперированию с простыми действительными амплитудами гармонических функций времени.

Наряду с комплексными амплитудами в качестве изображений гармонических функций на комплексной плоскости широко используются другие комплексные величины — комплексные действующие значения:

Все правила, устанавливающие соответствие между операциями над гармоническими функциями времени и операциями над их комплексными амплитудами, справедливы и для операций над комплексными действующими значениями гармонических функций.

В большинстве реальных усилии тельных схем на транзисторах .допущение о гармоническом характере входных воздействий оказывается вполне работоспособным. Если далее предположить, что цепь линейна (это выполняется, если амплитуда входных воздействий невелика, а транзистор усилителя находится в режиме линейного усиления), то становится вполне возможным применить метод комплексных амплитуд для мало сигнального анализа транзисторных усилительных схем. Более того, мы можем даже избавиться от комнлекснозначности амплитуд, если добавим требование об отсутствии фазовых сдвигов между сигналами, что близко к истине при рассмотрении достаточно низких частот.

Анализируя схемы методом комплексных амплитуд, мы будем говорить о комплексных токах и напряжениях ( ) строго говоря, так обычно называют комплексные действующие значения гармонических токов и напряжений, но для удобства мы часто будем подразумевать именно комплексные амплитудные значения (переход от амплитудных к действующим значениям, как было показано ранее, вообще не оказывает влияния на расчетные формулы).

В схемах при установлении направлений переменных токов и напряжений, заданных комплексными значениями, действуют все те же правила, что были описаны для постоянных токов и напряжений (т.е. знак "плюс" означает совпадение с направлением, условно принятым за положительное, а знак "минус" — несовпадение). Для условно-положительных направлений, когда это возможно, выбираются направления, совпадающие с направлениями реальных токов и напряжений, действующих в анализируемых цепях.

В различной литературе могут использоваться разные способы обозначения амплитуд, действующих значений и других параметров сигналов и схем; мы будем придерживаться следующей системы.

Зависящие от времени (как правило, гармонические) переменные электрические показатели (например, токи и напряжения) в цепях будем обозначать малыми латинскими буквами: i(t), u(t) и т.д. При этом, если нет необходимости делать особый акцент на временной зависимости мгновенных значений этих показателей, если характер данных зависимостей не определен, не имеет значения для рассматриваемого вопроса или если в зависимостях присутствует не только гармоническая, но и постоянная составляющая (показатели вообще могут быть константами), то будем использовать традиционные обозначения большими латинскими буквами: I, U и т.д.

Как правило, нам придется отдельно рассматривать переменные и постоянные составляющие токов и напряжений, в цепях. При этом для обозначения постоянных составляющих мы будем пользоваться дополнительным индексом "0", а для обозначения переменных составляющих — дополнительным индексом "-". Т.е. для полных токов и напряжений в цепях действуют формулы: U=U_о+ , I ⁼ I_о + . Заметим, что в большинстве случаев анализ по переменным составляющим проводится методом комплексных амплитуд. Так что вместо зависящих от времени переменных составляющих в получаемые нами формулы можно подставлять комплексные или при определенных условиях даже действительные амплитуды этих составляющих. Обозначение с индексом "-" применяется именно там, где существует возможность вариации подставляемых в формулы значений в зависимости от некоторых условий расчетов (например, проводим ли мы расчеты для низких или для высоких частот, а также используем ли мы действительные, комплекснозначные или определенные во временной области параметры элементов).

Анализируя электрические цепи методом комплексных амплитуд, мы приходим к комплексным значениям некоторых реальных параметров этих схем (комплексные сопротивления, проводимости, коэффициенты усиления и т.п.). Все такие величины обычно не принято обозначать так, как мы это делаем для комплексных амплитуд и действующих значений, — точкой вверху. Для каждого случая, как правило, есть свое устоявшееся обозначение. Объединяет их использование прописных латинских букв (G, Y, Н и т.д.). Соответствующие же малые латинские буквы (g, у,h и т.д.) применяются для обозначения действительной составляющей таких параметров (обычно комплекснозначные параметры становятся действительными при соблюдении определенных условий, применение в формулах малых латинских букв означает, что данные условия предполагаются выполненными).

Заметим также, что иногда параметры элементов схем могут зависеть от того, рассматриваем ли мы поведение данного элемента под действием постоянных токов и напряжений или делаем то же самое для их переменных составляющих. В общем случае нет какой-то универсальной методики различения таких параметров — следует внимательно читать текстовые комментарии и понимать суть физических процессов в цепях. Однако часто речь идет о так называемых статических и дифференциальных параметрах. Мы будем придерживаться системы, когда буквенный индекс, сопровождающий статические параметры, пишется с прописной буквы ( и т.п.), а буквенный индекс, сопровождающий дифференциальные параметры, — с малой буквы и т.п.). В случаях, когда разница между статическими и дифференциальными параметрами отсутствует, чаще применяется написание с прописными буквами. Если у параметра нет буквенного индекса или для него по каким-либо причинам неудобно менять размер используемых букв в индексе, то возможен переход к малой букве в обозначении самого дифференциального параметра ( и т.п.).