Приближенные методы расчета собственных колебаний пластин

Реальные конструкции печатных плат не соответствуют требованиям однородной пластины, что приводит к многообразию краевых условий пластины. В таких случаях применяются приближенные решения уравнения (1.4.4) по методам Рэлея, Ритца и др.

Метод Рэлея позволяет учесть нагружение печатной платы функционального узла с установленными на ней элементами и получить выражение для расчета частоты свободных колебаний платы, справедливое при любых краевых условиях. Частота свободных колебаний основного тона печатной платы определяется по формуле

, (1.4.9)

где α₁ – коэффициент, характеризующий зависимость частоты свободных колебаний пластины от краевых условий; а – большая сторона пластины; m_э, m₀ – приведенные к площади пластины массы элементов и самой пластины. Коэффициент α₁ находится из формул, приведенных в табл. 1.4.1, в зависимости от схемы закрепления и соотношения сторон пластины β = a/b.

Выражение (1.4.9) обеспечивает достаточную точность лишь при расчете частоты основного тона. С ростом номера тона (обертона) точность результатов расчета существенно снижается.

Метод Ритца, являющийся развитием метода Рэлея, позволяет определять частоты свободных колебаний пластины на основном тоне и обертонах для различных краевых условий. Наибольшее применение находит формула

, (1.4.10)

Таблица 1.4.1

Формулы вычисления коэффициента α₁ в зависимости

от варианта закрепления сторон пластины

где α_ij – коэффициент, зависящий от способа закрепления пластины, соотношения ее сторон и номера тона колебаний; – масса пластины, приведенная к площади;– коэффициент, учитывающий нагрузку пластины с размещенными на ней элементами;m_э – масса элементов, размещенных на пластине; m_п – масса пластины.

Рис. 1.4.1. Варианты крепления пластины: - сторона защемлена;- сторона лежит на опоре (в направляющей)

Для упрощения процедуры расчета частоты свободных колебаний пластины основного тона формула (1.4.10) преобразуется к виду:

(1.4.11)

где - частотная постоянная для пластины, изготовленной из стали;а – большая сторона пластины; - поправочный коэффициент на материал пластины;Е, Е_с – модули упругости материала пластины и стали; ρ, ρ_с – плотности материала пластины и стали соответственно. В табл. 1.4.2 приведены значения частотной постоянной С для различных вариантов закрепления и соотношения сторон а/b стальной пластины.

Таблица 1.4.2

Частотная постоянная С стальной пластины

В случае точечного крепления печатных плат (рис.1.4.2) собственная частота колебаний определяется по формуле

, (1.4.12)

где А = 1/а² при числе точек крепления n = 4; А = 4/(а² + b²) при n = 5; А = 0,25/а² при n = 6.

Рис.1.4.2. Точечное крепление плат

Для прямоугольной пластины, свободно опертой по контуру и имеющей параллельные сторонам ребра жесткости с одинаковыми прямоугольными поперечными сечениями, первая собственная частота колебаний определяется из выражения

, (1.4.13)

где a, b – длина и ширина пластины; r, k – число ребер, параллельных осям Х и У; m_n, m_x, m_y – массы пластин и ребер, параллельных осям Х и У соответственно; ξ = b/a; D – цилиндрическая жесткость пластины; - жесткость ребра;Е₁ – модуль упругости материала ребра; b₁ , h₁ – ширина и высота ребра.