5.3.2 Критерий устойчивости Михайлова

Частотный, графоаналитический критерий Михайлова применяется при исследовании замкнутых, линейных систем с постоянными параметрами. Он был сформулирован А.В. Михайловым в 1936 году и базируется на принципе аргумента. При этом для анализа устойчивости рассматривается характеристический комплекс системы , который получается из характеристического полинома (5.4):

(5.13)

заменой р на jω и имеет вид

(5.14)

где можно выделить вещественную и мнимую части, а также амплитуду и фазу:

(5.15)

Для конкретного численного значения ω=ω₁ характеристический комплекс представляет собой комплексное число , которое можно изобразить на плоскости в виде вектора, соединяющего начало координат с точкой.

При изменении ω от 0 до ∞ конец вектора выписывает на комплексной плоскости некоторую кривую, которую называютгодографом Михайлова. Причем начинается годограф, как следует из соотношения (5.14), в точке с координатами .

Рис. 5.4  Годограф Михайлова

Формулировка критерия. Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении ω от 0 до ∞ начинался на вещественной оси в точке a₀ и проходил последовательно против часовой стрелки n квадрантов, не обращаясь в ноль и стремясь к ∞ в n-м квадранте.

Доказательство. Утверждение основано на расположении годографа Михайлова на комплексной плоскости, поэтому проанализируем, как связаны корни характеристического уравнения с видом функцииF(jω). Поскольку полином (5.13) можно представить как произведение простейших сомножителей

, (5.16)

характеристический комплекс (5.14) также принимает вид:

. (5.17)

Его можно представить в форме:

(5.18)

Из выражений (5.15) и (5.18) следует, что

(5.19)

(5.20)

Если характеристическое уравнение системы содержит чисто мнимые корни, то, как следует из (5.19), при определенном значении частотыω=ω₀, так как при этом один из сомножителей обратится в ноль. В случае устойчивой системы корни расположены только в левой полуплоскости плоскости корней и не могут быть чисто мнимыми, следовательно, в ноль годограф Михайлова устойчивой системы не обращается.

Определим теперь угол поворота вектора F(ω) при изменении частоты от 0 до ω. Поскольку в соответствии с (5.20) есть сумма отдельных, то рассмотрим угол поворота каждого сомножителя выражения (5.17).

Корень характеристического уравнения вещественный и отрицательный . Соответствующий сомножитель в (5.17) имеет вид. Изобразим этот элементарный вектор на комплексной плоскости; при измененииω от 0 до ∞ его вещественная часть остается неизменной и равна а_i, а его мнимая часть возрастает до бесконечности (рис. 5.5).

Рис. 5.5  Элементарный вектор, соответствующий

параметрам устойчивого вещественного корня

Как видим, угол поворота элементарного вектора, соответствующего устойчивому вещественному корню, равен .

Если корень характеристического уравнения вещественный положительный , то угол поворота элементарного вектораравен.

Рассмотрим теперь пару устойчивых комплексно-сопряженных корней и соответствующий им угол поворота произведения.

Рис. 5.6  Векторы, соответствующие устойчивым

комплексно-сопряженным корням

У этих двух векторов начальные фазы одинаковы по модулю φ₀, но имеют противоположные знаки. При изменении ω от 0 до ∞ один вектор поворачивается на угол, равный , а второй - на угол .

Суммарный угол поворота для пары устойчивых комплексно-сопряженных корней равен +π.

Если комплексно-сопряженные корни имеют положительную вещественную часть, то суммарный угол поворота равен –π.

Таким образом, в устойчивой системе каждый из п корней даст приращение фазы , а общий угол поворотаF(ω) согласно (5.20) равен +(π/2)n, что и требовалось доказать. Вид годографа Михайлова для устойчивых и неустойчивых систем третьего порядка показан на (рис. 5.7).

Рис. 5.7  Годограф Михайлова для устойчивых и неустойчивых

систем третьего порядка

Система будет находиться на границе устойчивости, если годограф Михайлова при некотором значении частоты ω=ω₀ обращается в ноль, т.е. при выполнении условия

(5.21)

Здесь частота ω₀  есть частота незатухающих колебаний системы.

Пример. Оценить устойчивость системы, структурная схема которой имеет вид

Рис. 5.8  Структурная схема системы

Решение. Определим передаточную функцию системы

и запишем ее характеристический полином

.

Заменой р на jω перейдем к выражению для годографа Михайлова

,

которое представим в форме

.

Для построения годографа Михайлова вычислим значения вещественной и мнимой части при конкретных значениях частоты и занесем их в таблицу

По данным таблицы построим годограф Михайлова

Рис. 5.9  Годограф Михайлова

Как видим, годограф проходит последовательно три квадранта, не обращаясь в ноль, и стремится к бесконечности в третьем квадранте. Следовательно, исследуемая система устойчива.