Cистемы для измерения законов распределения вероятностей случайных процессов

Одномерный интегральный закон, или интегральная функция распределения вероятностей, определяется вероятностями нахож­дения исследуемого процесса ниже уровня х, который может из­меняться от -∞ до +∞: F(x) = p[-∞ ≤ x(t) ≤ x] (рис. 14.2). По определению F(-∞) = 0 и F(+∞) = 1.

Двумерный интегральный закон распределения вероятностей стационарного случайного процесса x(t) (случайный процесс называется стационарным, если все многомерные законы распределения зависят только от взаимного расположения моментов времени , но не от самих значений этих величин) определяется вероятностя­ми нахождения x(t) и x(t + τ) ниже уровней х₁ и х₂:

Рис. 14.2. Функция распределения вероятностей:

а – определение функции распределения вероятностей;

б – вид функции распределения вероятностей.

Одно- и двумерные дифференциальные законы распределения вероятностей случайного процесса x(t) — плотности распределения вероятностей (рис. 14.3) —определяются следующими выраже­ниями: или

Рис. 14.3. Плотность распределения вероятностей:

а – определение плотности распределения вероятностей;

б – вид плотности распределения вероятностей.

Определение вероятностей p[x(t) ≤ x] и p[x ≤ x(t) ≤ x+dx] можно производить путем суммирования отрезков времени, в те­чение которых выполняются указанные неравенства, и отнесения полученной суммы к времени наблюдения для функции распределения для плотности вероятности

Если исследуемый процесс представлен решетчатой функцией (в виде дискрет, размешенных через интервал дискретизации Δt), то выражения для интегральной функции и плотности распре­деления примут следующий вид:

В этих выражениях Δt — интервал дискретизации; п — количест­во дискрет, уровень которых меньше х для функции распределения или находится в интервале х + Δx для плотности распределения; N = T/Δt — количество дискрет в исследуемой реализации — объем выборки.

В большинстве случаев Δt равно или больше интервала кор­реляции исследуемого процесса.

Для определения функции и плотности распределения должен быть получен ряд значений F(x) и f(x, Δx) в пределах динами­ческого диапазона исследуемого процесса. Для этого динамичес­кий диапазон разбивается на несколько интервалов квантования и для каждого интервала квантования определяются значения F и f.

При экспериментальном определении закона распределения вероятностей неизбежно возникают методические погрешности обусловленные конечной длительностью наблюдения (T < ∞) или выборки N < ∞) реализаций и конечным значением интервала квантования по уровню Δx ≠ 0. Именно ввиду наличия в первую очередь методических погрешностей в результате измерительного эксперимента получаются не точные, а приближенные выраже­ния — оценки законов распределения вероятностей:

Определение интервала квантования по параметру х произво­дится известными способами. В зависимости от степени аппрокси­мирующего многочлена в теории вероятностей различают пред­ставление плотности распределения гистограммой (приближение на интервалах квантования степенным многочленом нулевой сте­пени) или полигоном (приближение многочленом первой степени).

Неравенства Чебышева позволяют при заданной по­грешности оценки законов распределения приближенно определить время наблюдения при некоррелированной выборке, когда интер­вал квантования Δt равен или больше интервала корреляции:

Более точное определение времени анализа Т или объема вы­борки N (при некоррелированной выборке) может быть выполне­но, если задана относительная средняя квадратическая погрешость измерения, а в фиксированных точках F*(x) и f*(x, Δx) по формулам:

Приближенные значения N_F и N_f получены при условиях F*(x) << l и Δx f*(x, Δх) << 1.

Если между выборочными значениями имеется корреляционная связь (Δt < τ₀, где τ₀ — интервал корреляции), то объем выборки нужно увеличить.

Поскольку F*(x, T) и f*(x, Δх, Т) связаны между собой из­вестными зависимостями, то в статистических анализаторах, види­мо, можно ограничиться только измерением F*(x, T) или f*(x, Δх, Т). Аппаратурные решения для измерения F*(x, T) проще, чем для f*(x, Δx, T). Однако большинство ИС делается для измерения плотности распределения. Это объясняется тем, что при преобразовании плотности распределения в функцию рас­пределения погрешности получаются существенно меньшими, чем при обратном преобразовании.

Рассмотрим основные структуры и алгоритмы ИС, измеряю­щих дискреты функций или плотностей распределения вероят­ностей. Такие ИС (будем называть их анализаторами вероятнос­тей) могут быть одноканальными и многоканальными.

Одноканальные анализаторы вероятностей за цикл анализа реализации x(t) позволяют получить одно дискретное значение функции или плотности распределения исследуемого случайного процесса. Для получения всех дискретных значений, необходимых для представления законов распределения, следует последователь­но изменять х или месторасположение интервалов квантования по уровню Δx и производить измерение величин F*(x_i) и f*(x_i, Δx). Естественно, что при последовательном измерении всех дискретных величин F* и f* на проведение анализа затрачивает­ся большое время.

Структурные схемы одноканальных анализаторов представле­ны на рис. 14.4…6. Наиболее часто в одноканальных анализа­торах, оперирующих с непрерывными сигналами и основанных на измерении относительного времени пребывания процесса x(t), используется образование ШИМ-сигналов и их интегрирование в те­чение времени Т [ШИМ – широтно-импульсная модуляция – есть импульсный сигнал постоянной частоты и переменной скважности, то есть отношения периода следования импульса к его длительности. С помощью задания скважности (длительности импульсов) можно менять среднее напряжение на выходе ШИМ-преобразователя.].

Разрешающая способность таких анализаторов определяется дрейфом уровня амплитудных селекторов и формой импульсов. Она обычно ограничивается примерно 1/20…1/100 частью макси­мального значения измеряемого напряжения.

Рис. 14.4. Анализатор с ШИМ и аналоговым интегрированием (х₁ и х₂ –уровни анализа)

Если исследуемый процесс представлен в квантованном по вре­мени виде, используются амплитудный дискриминатор с изменяе­мым уровнем сравнения х (рис. 14.5) и суммирующие счетчики, на выходе которых получаются значения п и N.

Рис. 14.5. Одноканальная система измерения функции распределения вероятностей

На рис. 14.5 показан анализатор, предназначенный для изме­рения F*(х). По такому принципу работают одноканальные анализаторы импульсов, обладающие высоким быстродействием, повышенной чувствительностью (максимальное значение амплитуды исследуемых процессов до 3…10 В).

Простотой и высоким быстродействием отличаются анализато­ры с преобразованием исследуемого временного процесса x(t) в пространственный сигнал х(1). Это преобразование может быть осуществлено с помощью электронного осциллографа при подаче на отклоняющие пластины электронно лучевой трубки исследуе­мого процесса и несинхронного развертывающего напряжения. Возможно также использование оптических систем с перемещаю­щимися диафрагмами и фотоэлектронным воспринимающим и ин­тегрирующим устройством либо промежуточное преобразование с ломощью телевизионного датчика ТД (рис. 14.6) с последующим анализом полученного потенциального изображения.

Рис. 14.6. Система измерения распределения вероятностей с телевизионным датчиком ТД

Многоканальные анализаторные системы, позволяющие полу­чать законы распределения амплитуд импульсов и интервалов времени между ними, амплитуд непрерывных временных и рас­пределенных в пространстве случайных процессов и т.п., широко используются в ядерной физике, биологии, геофизике, в химичес­ком и металлургическом производстве.

Наиболее часто реализации исследуемых процессов представ­ляются в виде электрических сигналов и графических изображе­ний. Как в том, так и в другом случае могут быть использованы аналоговые, цифровые и смешанные принципы построения анали­заторов.

Рис. 14.7. Многоканальная аналоговая система измерения распределения вероятностей

В аналоговых анализаторах используются дискриминаторы, выделяющие каналы — интервалы значений измеряемых величин, аналоговые накопители (индивидуальные для каждого канала) и устройства вывода (рис. 14.7). В качестве амплитудных дискрими­наторов могут использоваться пороговые устройства (типа тригге­ров Шмитта), фотоприемники с диафрагмами, выделяющими ка­налы, и т.п. Обычно при использовании дискриминаторов число каналов не превышает 30…50. Для накопления данных в этом слу­чае часто используются конденсаторные устройства.

Рис. 14.8. Многоканальная цифровая система измерения плотности распределения вероятностей

Структура многоканальных цифровых анализаторов вероят­ностей (рис. 14.8) включает АЦП, у которого каждое деление шка­лы связано с индивидуальным счетчиком.

Рис. 14.9. Структурная схема ИС типа АИ

В многоканальных анализаторных ИС типа анализатор импульсов (АИ), предназначен­ных для статистического анализа параметров импульсов, используются в качестве интегрирующих устройств магнитные устройства памя­ти (рис. 14.9). Результат измерения в виде кодоимпульсного сиг­нала I(z_j) в таких ИС поступает в регистр RG₄ и определяет ад­рес ячеек памяти, в которых накапливается количество зна­чений исследуемой величины, соответствующих каждому результа­ту измерения. С помощью RG₁ к числу, хранящемуся в ячейках памяти данного интервала АЦП, после поступления очередного результата измерения добавляется единица. Промежуточные ЗУ исполь­зуются для увеличения объема выборки, уменьшения потерь ин­формации и т.д.

Весьма удобной для построения многоканальных анализаторов является мультиплицированная структура (рис. 14.10), пригодная для оценки параметров законов распределения, как случайных ве­личин, так и случайных функций. Здесь число ступеней выходного напряжения u_к ЦАП (число ступеней «развертки») равно числу интервалов группировки f*(x) или F*(x); при этом на каждом такте u_к проводятся определение числа сработавших устройств сравнения и запись этого числа в соответствующие сумматоры, количество которых равно числу ступеней u_к. Если определение числа сработавших устройств сравнения осуществляется путем опроса, то в качестве сумматоров можно использовать обычные счетчики. В зависимости от того, сбрасываются или нет канальные триггеры в конце каждой ступени, будет измеряться f*(x) или F*(х). Анализаторные ИС позволяют получать законы распре­деления амплитуд А, временных интервалов В, номеров источни­ков информации Д в различных сочетаниях (обычно не превышаю­щих трехмерного): А, В, АА, AAA, АВ, ААВ, ВВ, АД, ВД.

Рис. 14.10. Мультиплицированная система измерения распределения вероятностей

Для получения k-мерных законов распределения ИС содержат соответствующее количество АЦП и промежуточное ЗУ (на рис. 14.9 — RAM₁). При этом основное запоминающее устройство RAM₂ разделяется на k частей.

Для контроля правильности функционирования АИ и опреде­ления их характеристик используются генераторы образцовых по­токов импульсов. Разработаны генераторы точных амплитудных значений, распределенных, например, по нормальному закону, ге­нераторы белого шума и т. п. Предусмотрен контроль входных и выходных устройств АИ. Разработаны тестовые программы, слу­жащие для проверки работоспособности узлов обработки инфор­мации АИ.

Следует отметить, что при работе АИ возникают специфические погрешности, которые следует учитывать. Для этого используется аппарат теории массового обслуживания.

Структура АИС, позволяющая получить коэффициенты много­члена, приближающего кривую плотности распределения вероят­ностей, представлена на рис. 14.11.

Если учесть, что коэффициенты разложения Фурье функцииаf(x) = ∑С_kφ_k(t), то можно принять, что С_k = M{φ_k[x(t)]}.

Сигналы на выходе фильтра φ_k(t) ортогональны и зависят от времени, а на выходе функционального преобразователя φ_k[x(t)] исследуемого процесса.

Рис. 14.11. Система измерения распределения вероятностей с апроксимацией

Для графического представления необходимо, чтобы время бы­ло связано с уровнем сигнала. Интервал между импульсами δ(t) при определении С_k должен быть больше времени усреднения.

Порядок приближения т может быть определен из анализа средней квадратической погрешности оценки:

При получении f*(x) описанным методом отсутствует необхо­димость квантования процесса по времени, могут быть сокращены емкость используемой памяти и время измерения.