Аппроксимирующие ис

Если нужно количественно оценить и при необходимости восстановить исход­ную входную величину, являющуюся функцией некоторого аргумента, то имеется принципиально два пути выполнения измерений. Первый, чаще используемый, заключается в измерении дискрет этой величины, расположенных через опреде­ленные интервалы аргумента, и восстановлении ее путем аппроксимации с помощью многочленов невысокой степени. Второй путь связан с измерением коэф­фициентов многочленов, аппроксимирующих исходную функцию на всем интерва­ле ее анализа. Естественно, что порядок аппроксимирующего многочлена при этом должен быть более высоким. Нужно отметить, что при соответствующем выборе типа приближающего многочлена имеется возможность не только коли­чественного описания поведения изучаемой величины в любой точке интервала наблюдения, но и одновременного получения информации о некоторых свойствах этой величины. В частности, при использовании ряда Фурье знание коэффициен­тов ряда позволяет судить о частотном составе изучаемой функции.

Измерительные системы, позволяющие измерять коэффициенты, приближающих многочленов, называются аппроксимирующими (АИС) [Аппроксимация (от лат. approximo — приближаюсь), замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным. А. позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны). В теории чисел изучаются, например, приближения иррациональных чисел рациональными. В геометрии и топологии рассматриваются аппроксимации кривых, поверхностей, пространств и отображений.].

Подчеркнем, что АИС относятся к системам, предназначенным для количественного описаний величин, являющихся функциями времени, пространства или другого аргумента, и их обобщающих параметров, определяемых видом приближающего много­члена.

Коэффициенты аппроксимирующего многочлена зависят от изучаемой x(t) и выбранной системы приближающих функций φ(t). Получение коэффициентов многочлена, аппроксимирующего исходную функцию, C_k = F₁[x(t), φ_k(t)], относится к области анализа сигналов. Эта зависимость при равномерном квантовании по аргументу имеет вид C_k = ∑ x(t_j)φ_k(t_j), где j = 1, 2, …, N — порядковый номер дискретных значений исходной функции x(t).

Заметим, что наиболее часто изучению подлежат процессы x(t) и простран­ственные функции х(l).

Рис. 13.5. Исходные функции

Кроме времени и пространства в качестве аргумента в АИС употребляются интервалы корреляции при описании корреляционной функции, частоты при опи­сании спектральных характеристик и т.д. (рис. 13.5).

Для восстановления (синтеза) исходной изучаемой функции нужно выпол­нить преобразование x^*(t_j) = F₂[C_k, φ_k(t_j)].

При равномерном квантовании по аргументу x^*(t_j) = ∑ C_kφ_k(t_j).

В АИС, так же как и в других ИС, информационные операции могут выполняться последовательным, парал­лельным или смешанным способами. Аппроксимирующие измерительные си­стемы могут реализоваться с замкнутой или разомкнутой информационной об­ратной связью, в виде аналоговых или цифровых устройств.

При создании и использовании АИС приходится решать ряд специфи­ческих задач, к которым в первую очередь относятся выбор типа приближающего многочлена и определение его по­рядка, исходя из заданной погрешности аппроксимации.

Решение этих задач зависит от вида изучаемой исходной функции, заранее известной информации о ней, от цели измерения, метрологических требований к измерениям и т.д.

В качестве приближающих многочленов с базисными функциями φ(t) могут быть выбраны ряды Фурье, разложения Фурье—Уолша, Фурье—Хаара, мно­гочлены Чебышева, Лагранжа, Лежандра, Лагерра и др.