Особенности измерения статистических характеристик случайных процессов

Статистический анализ случайных величин и процессов широ­ко применяется во всех отраслях науки и техники.

Для специалистов в области автоматизации необходимо не только уметь пользо­ваться статистическими характеристиками при проектировании и анализе погрешностей технических средств, но и знать методы и принципы построения аппаратуры, предназначенной для экспери­ментального измерения таких характеристик. Ввиду особой важ­ности статистических измерительных систем здесь целесообразно привести в весьма сжатом виде основные сведения о принципах построения таких систем и дать примеры их реализации.

При экспериментальном изме­рении характеристик случайных процессов имеется возможность оперировать с временной реали­зацией x_i(t), ансамблем реали­заций {x_i(t)_{i = 1, 2, …, m} при 0 ≤ t ≤ T или ансамблем реализаций {x_i(t_j)_{i = 1, 2, …, m}, взятых в определенный момент времени t_j (рис. 14.1)

Рис. 14.1. Реализация случайного процесса

Нужно подчеркнуть, что рассмотренное далее приложимо и к анализу случайных функций, у которых в качестве аргумента мо­гут быть время, пространственные координаты и т.п. Заметим, что при фиксированных значениях аргумента значения функции — случайные величины

Случайные процессы могут быть заданы в непрерывном или в квантованном по времени виде. В последнем случае функция за­дается выборкой N дискретных значений непрерывной функции, взятых через определенный интервал времени Δt.

При анализе ансамбля реализаций, конечно, получается наибо­лее полная информация о случайном процессе. В ряде практиче­ски важных случаев можно ограничиться определением характерис­тик случайного процесса по одной его роализации или по ансамб­лю значений — это оказывается возможным, если случайный про­цесс является стационарным и эргодическим.

Полученные в результате измерения эмпирические характерис­тики случайных процессов принято называть оценками истинных характеристик Q*. Эти оценки сами по себе являются случайными величинами. Поэтому при планировании статистического измери­тельного эксперимента необходимо решать задачи получения оце­нок характеристик с заданной погрешностью при ограничениях, накладываемых на объем исходных данных, на время измерения, на возможности аппаратуры и т.п.

Как известно, оценки характеристик должны быть состоятель­ными, несмещенными и эффективными. Состоятельной называется оценка, вероятность отклонения значения которой от оцениваемой величины при увеличении объема статистического материала N стремится к нулю, т.е. P{|Q_N* – Q| ≥ ε} = 0. Оценка называется несмещенной, если разность ее математического ожидания и ис­тинного значения оцениваемой величины приближается к нулю, т.е. фактически при этом требуется, чтобы отсутствовала систе­матическая ошибка. Смещение оценки Q* определяется как ΔQ* = M[Q*] – Q. Оценка называется эффективной, если несмещенная оценка обладает наименьшей дисперсией: min D[Q*] = min M{M[Q*] – Q}². Погрешность оценки Q* обычно определяет­ся доверительной вероятностью и доверительным интервалом Q ± ε:

P(Q*— ε ≤ Q ≤ Q*+ ε) = ά

Типовой алгоритм измерения характеристик стационарного случайного процесса по его реализации x(t) может быть представ­лен в следующем виде: Q* = M{H_φ[x(t)]}, где H_φ[x(t)] — соответствующее данной оценке преобразование исследуемого процесса. Если x(t) представлено в виде непрерыв­ной функции, то типовой алгоритм реализуется в интегральном т виде если же исследуемый процесс представлен в виде N дискрет, то Q_Д* = 1/N ∑H_φ[x(j∆t)], где Δt — интервал равномерного квантования x(t) по времени. Ре­зультат преобразования H_φ[x(t)] при измерении математического ожидания равен H_φ[x(t)] = x(t) дисперсии — H_R[x(t)] = [x(t) - М_х]², дискрет корреляционной функции H_R[x(t)] = [x(t) – М_х] [x(t + τ) – M_x] и т.д.

Большинство характеристик, получаемых по описанному алго­ритму, состоятельны, несмещенны и эффективны. Исключение со­ставляет оценка дисперсии, и для устранения смещенности она должна быть представлена в виде D_x* = {∑[x(t_j) – M_x]²/N}[N/(N – 1)].

Основными источниками методической погрешности при ре­ализации этого алгоритма являются конечное время анализа T = NΔt или конечный объем выборки N = T/Δt квантование x(t) по уровню и способ построения статистических функций по изме­ренным их дискретам.

Если задача статистических измерений заключается в получе­нии параметров статистических функций, к которым относятся за­коны распределения вероятностей, корреляционные и спектраль­ные функции, то их определение может быть также реализовано через измерение коэффициентов аппроксимирующих многочленов с получением оценки изучаемой функцииQ* = ∑C_kφ_k(t).

Основными источниками методических погрешностей в этом случае будут конечное число членов разложения и, как и в преды­дущем способе, конечное время анализа или конечный объем вы­борки.

Чаще всего при статистическом анализе используются законы распределения вероятностей и моментные характеристики, корре­ляционные и спектральные функции.

Перейдем к рассмотрению структур и алгоритмов статистичес­ких измерительных систем, предназначенных для измерения зако­нов распределения вероятностей, корреляционных и спектральных функций.

Считаем полезным привести соотношения, необходимые для ориентировочного определения объемов выборок при измерении М_х и D_x. При измерении М_х некоррелированных выборок (∆t > τ_кор) σ_M² ≈ (1/N) (D_x/М_х²) = χ²/N, где τ_кор — интервал корре­ляции, σ_M — средняя квадратическая погрешность измерения среднего значения, χ — коэффициент изменчивости. Конечно, это выра­жение справедливо при M_x ≠ 0. Средняя квадратическая погреш­ность определения D_x связана с объемом некоррелированных вы­борок так: σ_D² ≈ 2/N.

Подчеркнем, что приведенные соотношения пригодны для гру­бых, ориентировочных расчетов. При слабо коррелированных вы­борках объем N должен быть увеличен.