Корреляционные ис с измерением коэффициентов многочлена, аппроксимирующего корреляционную функцию

Оценка корреляционной функции может быть представлена в виде аппроксимирующего многочлена ,

где

Рис. 14.23. Схема включения ортого­нального фильтра

Здесь {φ_к(τ)} — система базисных функций, чаще всего ортого­нальных. Нетрудно заметить, что является откликом линейного ортонормированного фильтраФ при подаче на его вход сигнала ^ox(t) (рис. 14.23). Следовательно, при применении цепочки ортонормированных фильтров отпадает необходимость в специ­альных устройствах, создающих запаздывание τ. В этом случае ортогональные фильтры, использующие функцию Лагерра, должны иметь передаточную функцию , гдер — оператор дифференцирования; α — коэффициент.

Общий член ортогональной функции Лагерра , а корреляционная функция может быть восстановлена при извест­ных коэффициентах С_k как .

Как уже говорилось, корреляционный анализ случайных про­цессов применяется весьма широко в различных областях науки и техники. В частности, привлекает внимание возможность исполь­зования в ИИТ «фильтрующих» свойств, заложенных в корреля­ционном анализе, в целях выделения полезных детерминированных сигналов на фоне помех.

Положим, имеются периодический (например, синусоидальный) сигнал u(t) и стационарная случайная помеха y(t), аддитивная по отношению к полезному сигналу и имеющая интервал корреляции τ_0y. Тогда оценка корреляционной функции ^ox(t) = u(t) + y(t) будет равна:

Поскольку сигнал и помехи не коррелированы, то два послед­них интеграла равны нулю. Следовательно, R_X^*(τ) = R_u^*(τ) + R_Y(τ). При τ > τ_0yR_Y(τ > τ_0y) ≈ 0 и R_X^*(τ > τ_0y) ≈ R_U^*(τ).

Таким образом, проведя измерение корреляционной функции при τ > τ_0y, можно «отфильтровать» влияние помехи.

Значительное уменьшение времени анализа в этой ситуации может быть получено при применении дополнительного генератора, повторяющего полезный сигнал ^oχ(t) = k^ou(t), и измерении взаимной корреляционной функции процессов ^oχ(t) и ^ox(t):

Это устройство с генератором функции ^oχ(t), по существу, явля­ется аналогом фильтра с узкой полосой пропускания при частот­ном методе фильтрации. Подобные методы используются в целях уменьшения влияния случайных аддитивных помех в измеритель­ных усилителях, для определе­ния источников шумов (напри­мер, в технической диагностике) и т.п.

Можно ис­пользовать эти методы для построения помехоустойчивых устройств сравнения уравнове­шиваемых измерительных цепей с параметрическими датчиками, поскольку питание таких цепей имеет известный и детерминиро­ванный характер

Продолжаются применение и разработка корреляционных ме­тодов защиты от помех при гео­физической разведке полезных ископаемых электромагнитным способом.

Значительный класс статистических ИС — коореляционные экстремальные ИС — основан на использовании наличия особой точки — экстремума корреляционной функции при нулевом значе­нии аргумента. Корреляционные экстремальные ИС широко применяются в навигации, радиолокации, металлообрабатывающей, химической промышленности и т.д. для измерения па­раметров движения разнообразных объектов.

Так, например, известны корреляционные измерители скорости движения горячего и холодного металла при прокатке, судна са­молета и пр. Принцип их работы (рис. 14.24) заключается в том, что имеются два приемника ФЭ₁ и ФЭ₂ сигнала, отраженного от некоторой поверхности, перемещающихся относи­тельно нее со скоростью u, которую необходимо определить. На выходе приемников будут формироваться зависящие от свойств отражающей поверхности случайные процессы, сдвинутые между собой на интервал времени τ_п. Если расстояние между приемни­ками отраженного сигнала постоянно и равно d, то измерив τ_п, можно определить скорость v = d/τ_п.

Учитывая, что корреляционная функция этих случайных про­цессов имеет максимум при τ = 0, имеется возможность изменять запаздывание случайного процесса в канале х(t – τ) и добиваться на выходе коррелометра максимального значения коэффициента корреляции, отсчитывая при этом τ_п. Время, необходимое для получения результата измерения, при таких скоростях составляет (при авто­матической работе) доли секунды.

Рис. 14.24. Корреляционный измеритель скорости проката металла

Корреляционные экстремальные ИС используются для измере­ния дальности нахождения объекта в воздухе и воде, т.е. как высотомеры, измерители расстояния между объектами и т.п. Ско­рость распространения радиоволн в воздухе С₀ = 3*10⁵ км/с, а ультразвуковых волн в воде С_в = 1,5*10³ м/с. Следовательно, после измерения времени запаздывания сигналов τ_ц (в секундах) можно получать расстояние в воздухе при локации L₀ = C₀τ_ц/2 = 1,5*10⁵τ_ц (в километрах) и в воде L_B = l500τ_ц/2 (в метрах).

При использовании корреляционных экстремальных ИС для ло­кации космических кораблей удается измерить расстояния порядка 3300 км с погрешностью ±1 м, до 2*10⁸ км с погрешностью ±10 км.

Выделение сигналов на фоне шумов, измерение параметров движения, распознавание образов, идентификация, техническая и медицинская диагностика — вот неполный перечень областей прак­тического приложения методики и средств корреляционного ана­лиза

В настоящее время подавляющий объем корреляционного ана­лиза выполняется корреляционными ИС, содержащими ЭВМ, и локальными устройствами со средствами микропроцессорной тех­ники.

Известно, что абсолютно интегрируемые функции, удовлетворяющие условию , могут быть представлены в виде интеграла Фурье.

Функция S(jω) называется комплексным спектром, или спектральной плотностью амплитуд, и равна:

S(jω) имеет случайный характер, так как соотношения между амплитудами и фазами колебаний различных частот случайных процессов неопределенны. Поэтому при спектральном анализе слу­чайных процессов определяется спектральная плотность мощности (энергетический спектр). Для стационарных эргодических случай­ных процессов спектральная плотность мощности — математиче­ское ожидание от периодограммы .

Оценка спектральной плотности мощности .

Необходимо отметить, что в спектральном анализе применяет­ся не только спектральная плотность мощности одного процесса, но и взаимная спектральная плотность мощности реализаций двух процессов.

В соответствии с теоремой Винера — Хинчина энергетический спектр и корреляционная функция связаны между собой преобра­зованием Фурье:

;

Проиллюстрируем связь между R_x(τ) и G_x(ω) несколькими примерами.

Рис. 14.25. Равномерная спектральная плотность мощности (а) и соответствующая ей корреляционная функция (б)

Если R_x(τ) является убывающей функцией с увеличением τ, то G_x(ω) — функция, убывающая по мере увеличения ω. Если R_x(τ) приближается к δ-функции, то G_x(ω) — к равномерному «белому шуму» (рис. 14.25). Если x(t) помимо случайной составляющей содержит периодическую составляющую с частотой ω₀, то спектральная плотность мощности имеет разрыв непрерывно­сти в точке ω₀ (рис. 14.26).

Рис. 14.26. Спектральная плотность мощности (а) и соответствующая ей корреляционная функция (б)

При τ = 0 , т.е. элементG_x(ω)dω определяет составляющую M[ºx²(t)] от комплексной частоты ω (рис. 14.27). Таким образом, спектраль­ная плотность мощности описывает частотное распределение сред­ней мощности случайного процесса.

Рис. 14.27. Выделение элемента G_x(ω)dω

При спектральном анализе использует­ся выражение для нормированной спек­тральной плотности мощности: .

Нормированная спектральная плотность связана с нормированной корреляционной функцией следующим образом: ;.

При τ = 0 .