logo search
все вместе

22.Запас устойчивости по максимуму ачх замкнутой системы. М-окружности и их свойства.

В соответствии с критерием устойчивости Найквиста мерой запаса устойчивости можно считать степень удаления точек годографа КЧХ разомкнутой системы от точки -1,j0, которая может быть определена по величине максимума АЧХ замкнутой системы.

Д опустим, что КЧХ разомкнутой системы Wр.с(jω) располагается на комплексной плоскости, как показано на рис.4.12. Тогда АЧХ замкнутой системы Аз.с(jω) определится через Wр.с(jω) с помощью соотношения

Числитель для некоторой частоты ωi равен длине отрезка ОА, а знаменатель – длине отрезка ВА. Отсюда

При нулевой частоте значение КЧХ достаточно велико, поэтому соотношение отрезков близко или равно единице. С ростом частоты точка А движется в направлении стрелки и в пределе, при длина вектора ОА стремится к нулю. А вектора ВА к единице; соответственно модуль характеристики тоже стремится к нулю.

Однако характер изменения соотношения при различен в зависимости от степени удаления характеристики Wр.с(jω) от точки -1,j0 (точки В на рис.4.12).

Если КЧХ располагается достаточно далеко, то длина вектора ВА остается всегда больше длины вектора ОА и их соотношение монотонно уменьшается от значения при до нуля при .

Если же КЧХ располагается близко, то вначале соотношение отрезков с ростом частоты возрастает, поскольку длина ОА уменьшается медленнее, чем уменьшается длина ВА. Достигнув максимального значения при некоторой частоте ωрез, это соотношение затем стремится к нулю.

В предельном случае, когда КЧХ проходит через точку -1,j0 (система на границе устойчивости), длина вектора ВА становится равной нулю, а значение максимума АЧХ бесконечно большим.

Относительное значение резонансного пика АЧХ замкнутой системы в виде принято называть частотным показателем колебательности.

Найдем геометрическое место точек в плоскости характеристики Wр.с(jω), которое удовлетворяет условию постоянства соотношения длин векторов . Из рис.4.12 следует:

, .

т.е.

После преобразований получим:

Это уравнение окружности радиуса , с центром на отрицательной вещественно полуоси на расстоянии от начала координат.

Семейство таких окружностей показано на рис.4.13. Очевидно, что индекс окружности М, которую пересекает характеристика Wр.с(jω) при частоте ω1, равен значению АЧХ замкнутой системы при этой частоте. Индекс о кружности, которой характеристика только касается, не пересекая ее, равен максимуму АЧХ (при ) .

Сабанин с126-127

Ротач с121-124