logo
все вместе

18.Критерий устойчивости Гурвица и Михайлова(111 сабанин и 107 Ротач)

Устойчивость-способность динамич. систем возвращаться в исходное установившееся состояние после снятия внешних воздействий(возмущений).Устойчивость явл.внутренним свойством динамической системы и не зависит от точки внесения возмущения,но зависит от её параметров.Изменяя параметры можно вывести систему из устойчивого состояния и ввести её обратно.Для динамич. сист,описываемых линейн.диф.ур,устойчивость можно оценить по корням характеристического уравнения.

Гурвица

Для оценки уст-ти исп-т: алгебраич. и частотн. критерии уст-ти. Алгебраический критерий уст-ти Гурвица(1895) позволяет оценить уст-ть по коэф-ам характеристич. ур-ия: an·rn+ an-1·rn-1+..+a1r+a0=0.Определитель(матрица)Гурвица.(по главной диагонали последовательно записываются n коэффициентов,начиная с а1.Столбцы определителя,начиная от элементов главной диагонали,заполняются вверх по возрастающим индексам,вниз - по убывающим.Коэф. с индексом меньше нуля или больше n заполняются нулями.

Крит. уст-ти Гурвица:для уст-ти сис-мы необх. и достаточно, чтобы при an>0 все диагональные миноры Гурвица,составленные из коэф-ов характеристич. ур-ия были положительными.Условие границы уст-ти:Сис-ма на границе уст-ти,если Δn=a0· Δn-1=0,если 1) a0=0 2) Δn-1=0-сопряженную пару мнимых корней.

Частотный критерий уст-ти А.М.Михайлова.Характеристич. ур-ие an·Sn+ an-1·Sn-1+..+a1S+a0=0. Полином: F(iω)= an·(iω)n+..+a1· iω +a0, F(iω)-вектор в комплексной пл-ти, при ω=var-след вектора– годограф Михайлова.

Критерий Михайлова:Сис-ма устойчива, если при изменении ω от 0 до годограф характеристич. вектора, начинаясь на положительной действительной полуоси проходит против часовой стрелки послед-но n квадрантов комплексной пл-ти, где n-порядок ДУ. Полином F(s) в виде произведения сомножителей F(s)= a0·(s-s1)·(s-s2)·..·(s-sn),где s1,s2..sn-корни полинома F(s). F(iω)= a0·( iω -s1)·( iω -s2)·..·( iω -sn).Каждый из сомножителей F(iω)-вектор,совершающий поворот при изменении ω от - до + на угол π против часовой стрелки,если корень в левой полупл-ти, и на π по часовой стрелке для каждого корня справа от оси iω.

При измении ω от - до + вектор F(iω) повернется на уогл n· π. При изменении частоты от 0 до в устойчивой сист-ме Δarg(F(iω))=n·π/2 – Принцип аргумента.