8. Дифференциальные уравнения динамических систем, их составление, линеаризация и решение.

ДУ являются уравнениями математической физики, которые предназначены для описания естественных физических, тепловых и химических процессов в природе технологических процессов в технике.

Общие методы решения имеют лишь линейные ДУ, поэтому в ТАУ в основном используются именно они. Вид ЛДУ:

T – коэф. постоянной времени, - коэф. передачи, связывающий размерности и .

Для применения класс. методов анализа динамических систем, представленных нелинейными ДУ мат. физики, требуется их линеаризация, выполненная по методу «малых отклонений». Т.е. линеаризуемая ф-я в окрестности точки исследуемого равновесного состояния системы представляется рядом Тейлора, причем в разложении ограничиваются только линейными членами.

В геометрической интерпретации линеаризация соответствует замене истинного графика линеаризуемой функции касательной, проведенной в точке исследуемого равновесного состояния.

Методы решения ЛДУ:

1. Классический метод.

Решение имеет вид , где – общее решение однородного ДУ, – частное решение. Общее решение имеет вид , где - корни уравнения

2. Операционный метод.

Порядок решения:

1.Преобразовать ДУ по Лапласу;

2.Для заданного оригинала определить изображение входа ;

3.Записать выражение для выходной величины ;

4.Определить оригинал .

В общем случае ,

.

следует представить суммой простых дробей:

где, корни уравнения, коэффициенты.

Действительному корню кратности соответствует простых дробей вида

3. Символьное и численное решение с использованием математических пакетов Mathcad, MATLAB и др.