35.Случайные процессы. Методы их математического описания. Стационарность и эргодичность.

Обозначаются слу­чайные процессы прописными буквами (напри­мер. X(t), Y(t) ...), а их реализации — строчны­ми .

Случайный процесс, рассматриваемый толь­ко в некоторый фиксированный момент времени t = t1, представля­ет собой случайную величину, которая получила название сечения случайного процесса.

Основными вероятностными характеристика­ми случайных процессов являются:

Математическое ожидание m(t) (среднее значение) — детерминированная функция вре­мени, значение которой в каждый момент вре­мени равно математическому ожиданию (сред­нему значению) соответствующего сечения. Математическое ожидание определяет в каж­дый момент времени уровень, вокруг которого флюктуирует случайный процесс.

Дисперсия o2(t) — детерминированная функ­ция времени, значение которой в каждый момент времени равно дисперсии соответст­вующего сечения случайного процесса. Поло жительное значение корня квадратного из дисперсии называют среднеквадратич­ным отклонением a(t) (СКО) случайного процесса; в каждый момент времени оно определяет средний уровень флуктуации случайного процесса относительно его математического ожидания.

Корреляционная функция r{t, т) — детерминированная функция двух перемен­ных (времени I и сдвига во времени т). значение которой для каждой пары перемен­ных гит равно корреляционному моменту двух сечений случайного процесса — при г и t + т. Корреляционная функция определяет вероятностную взаимосвязь указанных двух сечений случайного процесса.

Указанные характеристики практически могут быть получены только экспери­ментально по выборке из достаточно большого числа (ансамбля) независимых реа­лизаций случайного процесса: получаемые таким образом приближенные данные о вероятностных характеристиках называют оценками этих характеристик. По­грешность оценок обусловлена прежде всего ограниченным объемом выборки: при увеличении объема выборки (числа обрабатываемых реализации) правильно выбранная оценка стремится к оцениваемой характеристике по вероятности (т.е. большое значение случайной погрешности становится все менее вероятным).

Оценки математического ожидания и дисперсии по выборке объема п нахо­дятся по формулам:

,

а корреляционной функции по формуле

где = x(t) - m(t) — реализация центрированного случайного процесса = X(t) - m(t), т.е. процесса, значения которого отсчитываются от его математиче­ского ожидания.

Очевидно, что при τ = 0 значение корреляционной функции совпадает с дис­персией процесса r(t,0)=2(t)

Среди случайных процессов важный для практики класс составляют так назы­ваемые случайные стационарные процессы, т.е. процессы, вероятностные свойст­ва которых не меняются во времени. Если случайный процесс стационарен, его математическое ожидание и дисперсия не меняются во времени: mx(t)=тх =const;x2(t) = x2 = const, а корреляционная функция r(τ) не зависит от t и, следовательно, является функцией лишь одного переменного τ.

Характерный график корреляционной функ­ции стационарного процесса показан на рис. 6.2. Поскольку корреляционная функция ха­рактеризует взаимосвязь сечений процесса, она обычно представляет собой убывающую (моно­тонно или с колебаниями) функцию т, причем чем с большей частотой происходят случайные флюктуации случайного процесса, тем быстрее убывает корреляционная функция.

Убывание корреляционной функции при увеличении |τ| свидетельствует о том, что с увеличением расстояния между сечениями взаимосвязь между ними умень­шается при превышении этим интервалом некоторого предельного значения τкор, такого, что при |τ| > τкор корреляционная функция практически мало отличается от нуля (рис. 6.2), сечения случайного процесса становятся практически независи­мыми. Чем меньше интервал коррелированности τкор, тем с большей средней частотой происходят его флюктуации, тем меньшим оказывается интервал, в кото­ром сечения случайного процесса остаются зависимыми друг от друга.

Стационарные случайные процессы, как правило, обладают свойством эргодич­ности, это значит, что оценка среднего значения и корреляционной функции тако­го процесса по экспериментальным данным может проводиться усреднением не по ансамблю реализации (6.1)—(6.3), а по времени какой-нибудь одной реализа­ции: оценка математического ожидания эргодичного случайного процесса может осуществляться по формуле

x = (6.4) (где Т— длина реализации), а оценка корреляционной функции xx()=1/T∙ dt.

При = О последняя формула дает оценку дисперсии. Проведя в (6.5) замену переменных𝝃 = t + τ, получим

xx()=1/T∙

т.е. корреляционная функция стационарного процесса является четной функцией τ:

rxx(t)=rxx(–t).

Для того чтобы можно было охарактеризовать вероятностную взаимосвязь сечений двух случайных процессов, необходимо ввести взаимную корреляционную функцию этих процессов: если эта корреляционная функция зависит лишь от сдвига т, процессы называют стационарно связанными. Оценка взаимной корреляцион­ной функции эргодичных процессов ,X(t) и Ytl) может проводиться усреднением по времени:

xy()=1/T∙ dt

Если в этой формуле заменить переменную интегрирования 𝝃= t + т, можно по­лучить

()=1/T∙ (𝝃-τ)∙y0(𝝃)d𝝃=1/T∙ (𝝃)∙y0(𝝃-τ)d𝝃

т.е. видим, что взаимная корреляционная функция обладает следующим свойством:

rxy(-t)=rxy(t).