34. Случайная величина, ее вероятностные и числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсия, ско, закон распределения).

Часто в результате испытания происходят события, заключающиеся в том, что некоторая величина принимает одно из своих возможных значений.      В таких случаях удобно вместо множества событий рассматривать одну переменную величину (называемую случайной величиной). Случайная величина обозначается через X, Y, Z, … и т.д.      Случайной называется величина, которая в результате испытания может принять то или иное возможное значение, неизвестное заранее, но обязательно одно.      Различают дискретные и непрерывные случайные величины.      Если множество возможных значений случайной величины конечно или образуют бесконечную числовую последовательность, то такая случайная величина называется дискретной .      Случайная величина, множество значений которой заполняет сплошь некоторый числовой промежуток, называется непрерывной . Дискретные и непрерывные величины не исчерпывают все типы случайных величин.      Если случайная величина не относится ни к дискретным, ни к непрерывным случайным величинам, то ее называют смешанной.      Очевидно, что для полной характеристики дискретной случайной величины мало знать ее значения. Необходимо им поставить в соответствие вероятности.      Соответствие между всеми возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями называется законом распределения данной случайной величины.      Простейшая формой задания закона распределения дискретной случайной величины является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины (обычно в порядке возрастания) и соответствующие им вероятности:

     Такая таблица называется рядом распределения. Допустим, что число возможных значений случайной величины конечно: х1, х2, …, хn. При одном испытании случайная величина принимает одно и только одно постоянное значение. Поэтому события Х = хi (i = 1, 2, … , n) образуют полную группу попарно независимых событий. Следовательно, р1  + р2 + …  + рn  = 1.      Можно закон распределения изобразить и графически, откладывая на оси абсцисс возможные значения случайной величины, а на оси ординат – соответствующие вероятности. Для большей выразительности полученные точки соединяются прямолинейными отрезками. Получающая при этом фигура называется многоугольником (полигоном) распределения.

Функция распределения вероятностей

    Непрерывную случайную величину нельзя охарактеризовать перечнем всех возможных ее значений и их вероятностей.      Функцией распределения случайной величины Х называют функцию F(x), определяющую для каждого значения х, вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньше х, т.е. F(x) = P (X <x).      Иногда функцию F(x) называют интегральной функцией распределения.      Функция распределения обладает следующими свойствами:      1. Значение функции распределения принадлежит отрезку [0,1]: 0 ≤ F(x) ≤ 1.      2. Функции распределения есть неубывающая функция.      3. Вероятность того, что случайная величина Х примет значение, заключенное в интервале (а, b), равна приращению функции распределения на этом интервале:       Р(а < X < b) = F(b) – F(а).                                          (2.1)      4. Если все возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу (а, b), то  F(x) = 0 при х ≤ а ;F(x) = 1 при х ≥ b.      5.      Справедливы следующие предельные отношения:    .      Для дискретной случайной величины Х, которая может принимать значения х1, х2, …,хn, функция распределения имеет вид       где неравенство под знаком суммы означает, что суммирование касается всех тех значений хi, величина которых меньше х.      Исходя из определения функции F(x): предположим, что аргумент х принял какое-то определенное, но такое, что выполняется неравенство xi<x≤xi+1. Тогда левее числа х на числовой оси окажутся только те значения случайной величины, которые имеют индекс 1, 2, 3, …, i. Поэтому неравенство Х<x выполняется, если величина Х примет значения хк, где k = 1, 2, …, i. Таким образом, событие Х<x наступит, если наступит любое, неважно какое, из событий Х = х1, Х=х2, Х=х3, …, Х=хi. Так как эти события несовместны, то по теореме сложения вероятностей имеем       .     (2.2)      Предположим теперь, что для непрерывной случайной величины Х ее функция распределения F(x) имеет непрерывную производную     F'(x)= φ(x).      Функцию φ(x) называют плотностью вероятности (для данного распределения) или дифференциальной функцией.      Так как плотность вероятности φ(x) является производной неубывающей функции F(x), то она неотрицательна: φ(x)≥0. В отличие от функции распределения, плотность вероятности может принимать сколь угодно большие значения.      Так как F(x) является первообразной для φ(x), то на основании формулы Ньютона-Лейбница имеем  .

Отсюда в силу (3.1)    P(a ≤ X ≤ b) =    (2.3)      Полагая а=–∞ и b=+∞, получаем достоверное событие Х принадлежащее (–∞, +∞), вероятность которого равна единице. Следовательно,       .      В частности, если все возможные значения случайной величины при­надлежат интервалу (а, b), то  . Полагая в формуле а = –∞, b =х и обозначая для ясности переменную интегрирования t, получим функцию распределения      F(x) = P(– ∞ < X < x) =  .       Числовые характеристики случайной величины

     Функция распределения содержит полную информацию о случайной величине.. Частичную информацию о случайной величине дают числовые характеристики, которые в зависимости от рода информации делятся на следующие группы.      1. Характеристики положения случайной величины на числовой оси (мода Мo, медиана Мe, математическое ожидание М(Х)).      2. Характеристики разброса случайной величины около среднего значения (дисперсия D(X), среднее квадратическое отклонение σ(х)).      3. Характеристики формы кривой y = φ(x) (асимметрия As, эксцесс Ех).          Математическое ожидание случайной величины Х указывает некоторое среднее значение, около которого группируются все возможные значения Х. Для дискретной случайной величины, которая может принимать лишь конечное число возможных значений, математическим ожиданием называют сумму произведений всех возможных значений случайной величины на вероятность этих значений:   .  (2.4)      Для непрерывной случайной величины Х, имеющей заданную плотность распределения φ(x) математическим ожиданием называется  следующий интеграл    (2.5)      Здесь предполагается, что несобственный интеграл   сходится абсолютно, т.е. существует.       Свойства математического ожидания:      1. М(С) = C, где С = const;      2. M(C∙Х) = С∙М(Х);      3. М(Х ± Y) = М(Х) ± М(Y), где X и Y – любые случайные величины;      4. М(Х∙Y)=М(Х)∙М(Y), где X и Y – независимые случайные величины.      Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина.      Модой дискретной случайной величины, обозначаемой Мо, называется ее наиболее вероятное значение (рис. 2.3), а модой непрерывной случайной величины – значение, при котором плотность вероятности максимальна (рис. 2.4).

                            Рис. 2.3                  Рис. 2.4 Рис. 2.5                            Рис. 2.6      Медианой непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение Ме, для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше Ме, т.е. Р(Х < Ме) = Р(X > Ме)

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания D(X) = M(X –М(Х))2.      Дисперсию случайной величины Х удобно вычислять по формуле:      а) для дискретной величины      б) для непрерывной случайной величины       ; (2.6) j(х)dx – [M(X)]2 .        (2.7)      Дисперсия обладает следующими свойствами:      1. D(C) = 0,   где С = const;      2. D(C×X) = C2∙D(X);      3. D(X±Y) = D(X) + D(Y), если X и Y независимые случайные величины.      Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется арифметический корень из дисперсии, т.е.  σ(X) = .