1. Системы счисления

Системой счисления называют совокупность правил представления чисел с помощью различных цифровых знаков. Системы счисления подразделяются на два типа: непозиционные и позиционные.

В непозиционных системах счисления значение любой цифры не зависит от занимаемой ею позиции, т. е. от занимаемого места в совокупности цифр. В римской системе счисления имеется всего семь цифр: единица (I), пять (V), десять (X), пятьдесят (L), сто (С), пятьсот (D), тысяча (М). С помощью этих чисел (символов) остальные числа записываются с применением сложения и вычитания. Например, IV есть запись числа 4 (V–I), VI – числа 6 (V + I) и т. д. Число 666 записывается в римской системе так: DCLXVI.

Эта форма записи менее удобна, чем та, которой мы пользуемся в настоящее время. Здесь шесть единиц записываются одним символом (VI), шесть десятков – другим (LX), шесть сотен – третьим (DC). С числами, записываемыми в римской системе счисления, очень трудно производить арифметические действия.

Также общим недостатком непозиционных систем является сложность представления в них достаточно больших чисел, так при этом получается чрезвычайно громоздкая запись.

Теперь рассмотрим то же число 666 в позиционной системе счисления. В нем один знак 6 обозначает число единиц, если он находится на последнем месте, число десятков – если на предпоследнем, и число сотен, если он стоит на третьем месте от конца. Такой принцип записи чисел называется позиционным (поместным). При такой записи каждая цифра получает числовое значение не только в зависимости от своего начертания, но и от того, на каком месте она стоит при записи числа.

В позиционной системе счисления любое число, изображенное в виде А = +a₁a₂a₃...а_n-1а_n, может быть представлено в виде суммы

А = а₁d^т-1 + а₂d^т-2 + ... + а_nd^т-n+1 + а_nd^т-n,

где n – конечное количество разрядов в изображении числа; a_i – цифра i-гo разряда; d – основание системы счисления; i – порядковый номер разряда; d^m-l – «вес» i-гo разряда. Цифры a_i должны удовлетворять неравенству 0 ≤ a ≤ (d – 1).

Для десятичной системы счисления d = 10 и a_t = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.

Так как цифры, состоящие из единиц и нулей, могут восприниматься как десятичные или двоичные числа, то при их совместном применении обычно указывается основание системы счисления, например (1100)₂ – двоичная система, (1100)₁₀ – десятичная.

В цифровых ЭВМ широко применяются системы, отличные от десятичной: двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная.

Двоичная система счисления. Для этой системы d = 2, и здесь допускается существование только двух цифр, т. е. a_i = 0 или 1.

Любое число, выраженное в двоичной системе, представляется в виде суммы произведения степеней основания два, умноженных на двоичную цифру данного разряда. Например, число 101,01 можно записать так: 101,01 = 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ + 0×2^‑1 + 1×2^-2, что соответствует числу в десятичной системе: 4 + 1 + 0,25 = 5,25.

В большинстве современных цифровых ЭВМ двоичную систему счисления используют для представления чисел в машине и выполнения над ними арифметических операций.

Двоичная система счисления по сравнению с десятичной позволяет упростить схемы и конструкции арифметического и запоминающего устройства, повысить надежность ЭВМ. Цифра каждого разряда двоичного числа представляется состояниями «включено-выключено» таких элементов, как транзисторы, диоды, магнитные сердечники, которые надежно работают в состояниях «включено-выключено».

К недостаткам двоичной системы относится необходимость перевода по специальной программе исходных цифровых данных в двоичную систему счисления, а результатов решения – в десятичную.

Восьмеричная система счисления. Эта система имеет основание d = 8. Для изображения чисел используются цифры: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7.

Восьмеричную систему счисления используют в ЭВМ как вспомогательную при подготовке задач к решению (в процессе программирования), при проверке работы машины и отладке программы. Эта система дает более короткую запись числа по сравнению с двоичной системой. Восьмеричная система счисления позволяет просто перейти к двоичной системе.

Шестнадцатеричная система счисления. Эта система имеет основание d = 16. Для изображения чисел используется 16 знаков: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; А; В; С; D; Е; F; причем знаки А ... F изображают десятичные числа 10; 11; 12; 13; 14 и 15. Шестнадцатеричное число (lD4F)_le будет соответствовать десятичному 7503, так как (1D4F)₁₆ = 1×16³ + 13×16² + 4×16¹ + 15×16⁰ = (7503)₁₀.

Шестнадцатеричная система счисления позволяет более компактно записывать двоичные цифры по сравнению с их записью в восьмеричной системе счисления. Она находит применение в устройствах ввода и вывода и устройствах изображения порядков чисел некоторых ЭВМ.

Двоично-десятичная система счисления. Представление числа в двоично-десятичной системе осуществляется следующим образом. За основу берут десятичную запись числа, а затем каждую ее цифру (от 0 до 9) записывают в виде четырехразрядного двоичного числа, называемого тетрадой, т. е. для изображения каждой цифры десятичной системы применяют не один знак, а четыре.

Например, десятичное число 647,59 будет соответствовать двоично-десятичному числу 0110 0100 0111, 0101 1001.

Двоично-десятичная система счисления используется как промежуточная система счисления и для кодирования входных и выходных чисел.