11)Тригонометрические ряды Фурье

Р ассмотрим тригонометрическую систему функций.

Как хорошо известно, из курса специальных разделов математического анализа, такая система является полной на любом отрезке tÎ[a, a+T] длины T.

Если функция f(t) имеет период T и является кусочно-гладкой функцией на периоде, то ее ряд Фурье сходится к f(t) в каждой ее точке непрерывности.

В точках разрыва ряда Фурье сходящегося к среднему значению функции в этих точках.

Коэффициенты Фурье находятся по формулам:

(1)

Свойства

1 )Если функция f(t) четная, то из интегралов (1) видно, что коэффициенты b_k=0, и возникает разложение по косинусам

2)Если функция f(t) нечетная, то из интегралов (1) видно, что в этом случае коэффициенты a_k=0, и возникает разложение по синусам

1)С увеличением числа членов N частные суммы все точнее описывают сигнал, за исключением областей вблизи точек разрыва.

2)В точке разрыва ряд Фурье сходится к среднему значению в точке разрыва.

3)Вблизи точек разрыва наблюдаются пульсации, которые не пропадают с увеличением числа членов ряда N , пульсации лишь сжимаются, приближаясь к точке разрыва. Это явление, присущее рядам Фурье для любых сигналов с разрывами первого рода (скачками), называется эффектом Гиббса.