2.1. Введение в теорию ортогональных преобразований
Две вещественные функции g(x) и h(x), заданные на конечном или бесконечном интервале (a<x<b), называются ортогональными друг другу на этом интервале, если
При этом функции предполагаются конечными либо бесконечными, но обязательно с абсолютно сходящимся интегралом. Интеграл называется абсолютно сходящимся если
.
Система функций называется ортогональной на некотором интервале, если каждые две функции из этой системы ортогональны друг другу на этом интервале.
Пусть задана система функций
g1(x),g2(x),...,gn(x) (2.1)
ортогональная на некотором интервале (a<x<b).
Может возникнуть задача о разложении произвольной функции f(x) на этом интервале в ряд по функциям (2.1), т.е. в ряд вида
, (2.2)
где an - числовые коэффициенты. При этом возникают вопросы: возможно ли разложение для любой функции f(x) и как найти коэффициенты an .
Будем считать для простоты все рассматриваемые функции, а также интервал конечным. Ответ на первый вопрос зависит от выбора системы, по которой мы будем производить разложение. Если разложение возможно для любой функции f(x), то система функций называется полной [6].
Перейдем теперь к нахождению коэффициентов an разложения, причем будем считать, что ни одна из функций (2.1) не равна тождественно нулю. Для этого умножим обе части уравнения (2.2) на gn(x) и проинтегрируем результат по интервалу (a<x<b).
В силу ортогональности системы (2.1), в правой части последнего равенства все интегралы равны нулю, за исключением интеграла от gn2(x), и мы получаем формулу для коэффициентов
(n=1,2,3, …).
- Цифровая обработка сигналов методы предварительной обработки
- Санкт-Петербург
- Содержание
- Введение
- 1. Основные понятия цифровой обработки сигналов
- Понятие о первичной и вторичной обработке сигналов
- Основные требования к системам цос
- Основные типы алгоритмов цифровой обработки сигналов
- 1.4. Линейные и нелинейные преобразования
- 1.5. Переход от непрерывных сигналов к дискретным
- 1.6. Циклическая свертка и корреляция
- 1.7. Апериодическая свертка и корреляция
- 1.8. Двумерная апериодическая свертка и корреляция
- 1.9. Контрольные вопросы и задания.
- 2. Дискретные ортогональные преобразования
- 2.1. Введение в теорию ортогональных преобразований
- 2.2. Интегральное преобразование Фурье
- 2.3. Интегральное преобразование Хартли
- 2.4. Дискретное преобразование Фурье
- 2.5. Дискретное преобразование Хартли
- 2.6. Двумерные дискретные преобразования Фурье и Хартли
- 2.7. Ортогональные преобразования в диадных базисах
- 2.8. Понятие о Wavelet-преобразованиях. Преобразование Хаара
- Задачи цос, решаемые методами дискретных ортогональных преобразований
- 2.9. Контрольные вопросы и задания
- 3. Быстрые алгоритмы ортогональных преобразований
- 3.1. Вычислительная сложность дпф и способы её сокращения
- 3.2. Запись алгоритма бпф в векторно-матричной форме
- 3.3. Представление алгоритма бпф в виде рекурсивных соотношений
- Алгоритмы бпф с прореживанием по времени и по частоте
- 3.6. Вычислительная сложность алгоритмов бпф
- 3.7. Выполнение бпф для случаев
- 3.8. Быстрое преобразование Хартли
- 3.9. Быстрое преобразование Адамара
- 3.10. Контрольные вопросы и задания
- 4. Линейная фильтрация сигналов во временной и частотной областях
- 4.1. Метод накопления
- Не рекурсивные и рекурсивные фильтры
- 4.3. Выбор метода вычисления свертки / корреляции
- 4.4. Выполнение фильтрации в частотной области
- 4.5. Адаптивные фильтры
- 4.6. Оптимальный фильтр Винера
- 4.7. Методы обращения матриц
- 4.8. Контрольные вопросы и задания
- 5. Алгоритмы нелинейной обработки сигналов
- 5.1. Ранговая фильтрация
- 5.2. Взвешенная ранговая фильтрация
- 5.3. Скользящая эквализация гистограмм
- 5.4. Преобразование гистограмм распределения
- 5.5. Контрольные вопросы и задания
- Кафедра вычислительной техники