logo
ТеорИнфМетоды / metod_1

1.5. Переход от непрерывных сигналов к дискретным

Процесс перехода от непрерывной области изменения аргумента (задания функции) к конечному множеству отдельных значений аргумента называется дискретизацией. Процесс перехода от непрерывной области изменения функции к конечному множеству определенных значений называется квантованием. Обычно полагается, что дискретизация и квантование выполняются с равными шагами, т.е. функция определена в равноотстоящих точках по оси абсцисс и по оси ординат. Переход от непрерывного сигнала к дискретному осуществляется с потерей информации. Восстановление непрерывного сигнала по дискретным значениям и устранение потерь информации зависит от параметров дискретизации - т.е. шага дискретизации, способа восстановления сигнала и от свойств сигнала.

Условие, при котором возможно восстановление сигнала без потерь, определяется из теоремы Котельникова [16,21].

Пусть функции f(x) и F() связаны обратным преобразованием Фурье, т.е.

Прямая формулировка теоремы Котельникова. Если функция f(x) имеет ограниченный спектр, локализованный в диапазоне , то она полностью определена путем задания отсчетов на наборе точек, отстоящих друг от друга на расстоянии.

Обратная формулировка теоремы Котельникова/ Если f(x) задана в ограниченной области , то ее спектрF(ν) полностью определен набором отсчетов в точках, равноотстоящих друг от друга на расстоянии .

Поясним выбор шагов дискретизации по теореме Котельникова на рис.1.2.

=>

Рис.1.2. Выбор шага дискретизации по теореме Котельникова

При дискретизации согласно теореме Котельникова исходная функцияf(x) может быть получена по ее дискретным значениям по формуле:

причем шаг дискретизации составляет

Однако согласно теории Фурье-анализа конечной апериодической функции f(x) соответствует бесконечный спектр и наоборот, конечный спектр соответствует бесконечной исходной функции.

Поэтому для реальных сигналов условия теоремы Котельникова в строгом смысле слова не выполняются.

  1. Все реальные сигналы ограничены во времени и имеют неограниченный спектр, т.е. fв=.

  2. В соответствии с рядом Котельникова восстановление осуществляется по бесконечному числу отсчетов (- k ).

  3. Поскольку сигнал восстанавливается по бесконечному числу отсчетов функций, то его восстановление осуществляется с бесконечной задержкой во времени.

Поэтому, чтобы получить конечный спектр, можно воспользоваться равенством Парсеваля:

и, зная, что исходная функция f(x) конечна, вычислить значение интеграла в левой части равенства, после чего, задав величину погрешности ε в определении интеграла в правой части, определить максимальную частоту. Исходя из максимальной частоты определяется число отсчетов. Если размер области задания исходной функции f(x) равен X=2Xmax, а число отсчетов функции при дискретизации должен составлять N , то шаги дискретизации исходной функции и ее спектра составят:

Итак, в результате дискретизации в соответствии с теоремой Котельникова от x(t) мы переходим к набору отсчетов или к вектору:

X = {xn}; n=0, N-1.