4.7. Методы обращения матриц

Для фильтра Винера-Хопфа при вычислении оптимального импульсного отклика фильтра необходимо выполнять обращение автокорреляционных или ковариационных матриц. Поэтому остановимся на методах обращения матриц, используемых при решении задач ЦОС.

Вычислительная сложность процедуры обращения матриц достаточно велика, поэтому предназначенные для решения задач ЦОС в реальном масштабе времени алгоритмы обращения должны допускать распараллеливание и конвейеризацию вычислений. По этим причинам для обращения матриц в задачах ЦОС часто используют методы обращения, основанные на процедуре исключения (алгоритмы Гаусса, Гаусса-Жордана) [12, 18]. Рассмотрим процедуру обращения матриц по методу Гаусса-Жордана.

Пусть для матрицы порядкатребуется найти обратную матрицу:

Заметим, что для матрицы может и не существовать обратная матрица. Для того, чтобы существовала матрица, необходимо и достаточно, чтобы матрицабыла не вырожденной [4], т.е. чтобы определитель матрицыdet[A_N] ≠ 0.

Запишем матричное уравнение:

где I_N - единичная матрица. Сформируем матрицу вида:

размером и заитераций приведем ее к виду:

при помощи соотношений:

(4.27)

(4.28)

причем a ^k-1_lj=a^{^}_{lj .}Здесь - ведущий элемент, который может определяться по номеру итерации какk- тый элемент k- й строки, либо как максимальный элемент k -го столбца [4]. Выражение (4.27) определяет главный или ведущий элемент на каждой итерации и приведение (масштабирование) коэффициентов строки, содержащей главный элемент. Назовем такую строку ведущей. Выражение (4.28) определяет порядок исключения, т.е. вычитания ведущей строки из остальных строк матрицы.

Подобный алгоритм почти в N раз снижает вычислительные затраты по сравнению с обращением матрицы по формулам Крамера.

Тем не менее, вычислительная сложность процедуры обращения матрицы по выражениям (4.27) и (4.28) все же достаточно велика и составляет порядка N³ базовых операций.

С целью дальнейшего снижения вычислительной сложности в ряде случаев используют приближенные итерационные процедуры обращения, например, по алгоритму Ньютона. Согласно такому алгоритму, для матрицы выполняются последовательные приближения:

, (4.29)

где - произвольное начальное значение исходной матрицы. Если данная последовательность сходится, то ее пределом является.

Для ряда практических применений, например, расчета оптимального импульсного отклика адаптивного фильтра, используют упрощенные алгоритмы, к которым относится алгоритм Гриффитса [24]:

(4.30)

Вместо нахождения обратной матрицы при нахождении импульсного отклика фильтра Винера-Хопфа:

вычисляют матрицу:

(4.31)

где - некоторая действительная переменная:

Однако при этом остается открытым вопрос о сходимости последовательности , что требует в конкретном случае предварительного исследования такой сходимости.