2.3. Интегральное преобразование Хартли

Для одномерного случая прямое преобразование Хартли может быть определено как [3]

(2.6)

и, соответственно, обратное преобра-зование Хартли

(2.7)

Сравним эти выражения с (2.4.) и (2.5), разложив ядро по формуле Эйлера на действительную и мнимую части (т.е. sin и cos компоненты):

(2.8)

Из анализа (2.6) - (2.8), можно сделать следующие выводы:

1) Преобразование Хартли является преобразованием с действительным ядром;

2) Прямое и обратное преобразование Хартли вычисляются идентично;

3) Квадрат модуля преобразования Фурье | F() |² равен:

4) Действительная и мнимая компоненты преобразования Фурье могут быть вычислены на основе преобразования Хартли весьма простым образом:

(2.10)

(2.11)

5) Если f(x) - четная (т.е. f(-x)=f(x)), то:

, .

Основные свойства преобразования Хартли соответствуют преобразованию Фурье:

1) Инвариантность к сдвигу (модуль H²(ξ) + H²(ξ) - неизменен).

2) Так же, как и для преобразования Фурье, для преобразования Хартли справедливы следующие соотношения согласно теоремы масштабов:

3) Так же, как и для преобразования Фурье, для преобразования Хартли справедлива Теорема Парсеваля.

Отличие от Фурье - преобразования заключается в иной трактовке теоремы о свертке:

Если заданы функции f(x) иg(x), причемH(ξ) и- соответственно их cпектры Хартли:

,

,

то их свертка вычисляется следующим образом [3]:

1) вычисляются функции и;

2) формируется функция:

3) вычисляется преобразование Хартли от функции Ф(ξ).

Очевидно, что если функция g(x) - четная, то:

,

Если и функция f(x) - четная, то:

Преобразование Хартли требует вычислений примерно вдвое меньшей сложности (поскольку его ядро действительная функция) и в то же время от его результата достаточно просто перейти к результату, эквивалентному результату преобразования Фурье. Поэтому на практике преобразование Хартли используется вместо преобразования Фурье в различных задачах ЦОС как некоторое искусственное синтетическое преобразование меньшей сложности, но обеспечивающее получение требуемого результата.