Моделирование переходной характеристики

Исследование систем автоматического управления возможно с использованием метода моделирования. При этом исследуемой системе сопоставляется некоторая адекватная физическая модель системы. Переходные процессы исследуются на модели экспериментально. Полученные результаты (например, переходная характеристика) пересчитываются с использованием масштабных коэффициентов модели к исследуемой системе. Качественные характеристики системы определяются по полученным экспериментальным результатам.

Для моделирования могут использоваться электронные, гидравлические или электромеханические модели. Наиболее распространено моделирование САУ с использованием электронных моделей. Широко распространен структурный метод моделирования, который заключается в представлении исследуемой системы в виде соединения типовых структурных звеньев , каждое из которых моделируется некоторой электронной схемой. В результате исследуемая система представляется в виде электронной модели, на которой и изучаются процессы в системе.

Рассмотрим электронную схему на основе операционного усилителя, приведенную на рис. 100. Будем считать, что в схеме использован идеальный операционный усилитель с бесконечно большим коэффициентом усиления и бесконечно большим входным сопротивлением ( , ). Тогда для входа усилителя можно записать следующее уравнение Кирхгофа:

, где i_вх – входной ток от источника U_вх, i₀ – ток обратной связи через резистор R₀, i_c – ток обратной связи через конденсатор C.

В ыразим токи через известные параметры рассматриваемой схемы, имея в виду, что для идеального усилителя с бесконечным коэффициентом усиления напряжение в точке входа равно нулю:

, , , .

Подставим полученные значения токов в уравнение Кирхгофа:

. Преобразуем дифференциальное уравнения к общепринятой в теории управления форме записи:

,

.

Перепишем уравнение в операторном виде:

, где , .

На основе полученного дифференциального уравнения для рассматриваемой схемы можно записать передаточную функцию

. Получена передаточная функция типового инерционного звена. Таким образом, с помощью рассмотренной схемы можно моделировать инерционное звено, а параметры звена задавать соответствующим выбором параметров элементов схемы.

Структурное инерционное звено и его электронная модель показаны на рис. 101. Входной x(t) и выходной y(t) сигналы типового звена моделируются входным U_вх и выходным U_вых напряжениями электронной модели. Соотношения между сигналами и напряжениями задаются масштабными коэффициентами m_x и m_y: , . Можно масштабировать и время процесса, введя модельное время  и масштабный коэффициент времени m_t: .

Выбранные масштабные коэффициенты и параметры k и T моделируемого звена задаются коэффициентами усиления операционного усилителя

, .

Для обеспечения этих коэффициентов при настройке модели устанавливаются необходимые значения сопротивлений резисторов и емкость конденсатора электронной схемы.

При моделировании процесса ко входу модели подключается источник напряжения U_вх , а к выходу  осциллограф. При подаче на вход модели напряжения осциллограф зафиксирует переходный процесс. Этот процесс затем пересчитывается с учетом масштабных коэффициентов.

Подобные модели используются и для других типовых звеньев. Структурная схема исследуемой системы собирается в виде соединения моделей типовых звеньев. Параметры моделей звеньев рассчитывают исходя из параметров моделируемого структурного звена, что обеспечивает соответствие между процессами в модели и процессами в исследуемой системе. В результате находится процесс в модели и пересчитывается к исследуемой системе.

Возмущения моделируются подачей напряжений на вход модели. Для моделирования сложных возмущений применяются генераторы напряжения со сложной зависимостью выходного напряжения от времени. Электронные модели для электронного моделирование динамических систем получили название аналоговых вычислительных машин (АВМ). Аналоговые вычислительные машины позволяют решать дифференциальные уравнения высокого порядка и получать решение в виде аналогового сигнала, являющегося функцией времени.