Частотная передаточная функция системы автоматического управления

Ч астотные характеристики системы автоматического управления определяются при подаче на вход системы гармонического воздействия

,

где (формула Эйлера).

При подаче такого сигнала на вход и после затухания переходных процессов на выходе установятся также гармонические колебания с той же частотой , но с другой амплитудой и фазой (рис. 37). Тогда для выходного сигнала можно записать

y(t) = y_m = y_m ,

где  угол фазового сдвига выходного сигнала относительно входного;  период сигнала;   круговая частота сигнала.

Пусть исследуемая линейная система описывается обыкновенным линейным дифференциальным уравнением

При гармоническом входном сигнале можно в этом уравнении определить все производные входной величины

,

,

....................................................................................

.

Аналогично определятся и производные выходной величины. В результате исходное дифференциальное уравнение можно переписать в виде алгебраического уравнения

Решив это уравнение, получим

Величина W(j ) называется комплексной частотной функцией (или частотной передаточной функцией). Комплексная частотная функция может быть найдена по передаточной функции путем подстановки p = j:

Частотная передаточная функция может быть записана в комплексном виде

где А() – модуль частотной передаточной функции; () – фазовый угол (аргумент); U() = ReW(j) – вещественная составляющая передаточной функции; V() = JmW(j) – мнимая составляющая частотной передаточной функции.

Для частотной передаточной функции справедливы следующие соотношения:

, .

Зависимости А( ) и ( ) определяют изменение амплитуды и фазы колебаний на выходе системы при изменении частоты входных колебаний. Модуль частотной характеристики A() определяет коэффициент усиления системы для гармонического сигнала с частотой .