Пример исследования функционального элемента
Рассмотрим электрический функциональный элемент, принципиальная и структурная схемы которого изображены на рис. 29.
Для этого элемента
; Uвх=iR+Uвых.
Представим
отсюда
В результате получаем следующее дифференциальное уравнение, описывающее элемент:
.
Представим уравнение в операторном виде:
,
где постоянная времени, , .
Решим полученное дифференцированное уравнение обычными методами. Приняв , запишем уравнение в виде
Для решения уравнения введём новую переменную , поскольку , то
.
Решение полученного однородного уравнения
Для нахождения постоянной интегрирования D учтем начальные условия: при , , следовательно, и , .
Итак, , откуда окончательно получаем
.
Найдём решение, используя преобразование Лапласа. Для области изображений Лапласа
Подвергнем исходное уравнение преобразованию Лапласа
.
Получено алгебраическое уравнение, которое легко решается относительно изображения выходной величины:
Мы получим решение дифференциального уравнения в изображениях. Обратный переход к оригиналу может быть осуществлен с использованием разложения Хевисайда
A(p)=A, B(p)=p(Tp+1).
Функция-изображение имеет два полюса, получаемые из решения уравнения
B(p)=p(Tp+1)=0: p1 =0, p2= - 1/T.
Тогда
Используем общую формулу и получим
Итак, в обоих случаях мы получим одно и то же решение:
или .
Используя полученное решение, ответим на следующие вопросы.
Как будет изменяться во времени выходное напряжение элемента, если в момент t=0 на вход подать напряжение Uвх=100 B? При этом R=1 МОм, С=1 мкФ. Для данных значений T =RC =106 10-6 =1c; B.
График переходного процесса показан на рис. 30. Процесс имеет плавный апериодический характер. Постоянное напряжение на выходе исследуемой цепи устанавливается через 3,5 с (примерно).
Через какое время напряжение на выходе будет отличаться от входного не более чем на 0,1 В?
Какова будет наибольшая относительная погрешность выходного напряжения, при подаче на вход элемента импульса 100 В длительностью 3 с?
Uвых= 100(1-е-3) = 95,0 ,
.
В рассматриваемом примере исследован простейший элемент. Однако порядок исследования и используемые методы являются общими как для более сложных элементов, так и для систем САУ.
- А.В. Федотов теория автоматического управления
- Список сокращений
- Основы теории автоматического управления Введение
- Примеры систем автоматического управления Классический регулятор Уатта для паровой машины
- Система регулирования скорости вращения двигателей
- Автоматизированный электропривод
- Система терморегулирования
- Следящая система автоматического управления
- Система автоматического регулирования уровня
- Обобщённая структура автоматической системы
- Принципы автоматического управления
- Математическая модель автоматической системы
- Пространство состояний системы автоматического управления
- Классификация систем автоматического управления
- Структурный метод описания сау
- Обыкновенные линейные системы автоматического управления Понятие обыкновенной линейной системы
- Линеаризация дифференциального уравнения системы
- Форма записи линеаризованных дифференциальных уравнений
- Преобразование Лапласа
- Свойства преобразования Лапласа
- Пример исследования функционального элемента
- Передаточная функция
- Типовые воздействия
- Гармоническая функция.
- Временные характеристики системы автоматического управления
- Частотная передаточная функция системы автоматического управления
- Частотные характеристики системы автоматического управления
- Типовые звенья
- Безынерционное (усилительное) звено.
- Инерционное звено (апериодическое звено первого порядка).
- Колебательное звено.
- Интегрирующее звено.
- 5. Дифференцирующее звено.
- Неустойчивые звенья
- Соединения структурных звеньев
- Преобразования структурных схем
- Передаточная функция замкнутой системы автоматического управления
- Передаточная функция замкнутой системы по ошибке
- Построение частотных характеристик системы
- Устойчивость систем автоматического управления Понятие устойчивости
- Условия устойчивости системы автоматического управления
- Теоремы Ляпунова об устойчивости линейной системы
- Критерии устойчивости системы Общие сведения
- Критерий устойчивости Гурвица
- Критерий устойчивости Найквиста
- Применение критерия к логарифмическим характеристикам
- Критерий устойчивости Михайлова
- Построение области устойчивости системы методом d-разбиения
- Структурная устойчивость систем
- Качество системы автоматического управления Показатели качества
- Точность системы автоматического управления Статическая ошибка системы
- Вынужденная ошибка системы
- Прямые методы анализа качества системы Аналитическое решение дифференциального уравнения
- Решение уравнения системы операционными методами
- Численное решение дифференциального уравнения
- Моделирование переходной характеристики
- Косвенные методы анализа качества Оценка качества по распределению корней характеристического полинома системы
- Интегральные оценки качества процесса
- Оценка качества по частотным характеристикам Основы метода
- Оценка качества системы по частотной характеристике
- Оценка колебательности системы
- Построение вещественной частотной характеристики
- Оценка качества сау по логарифмическим характеристикам
- Синтез системы автоматического управления Постановка задачи синтеза системы
- Параметрический синтез системы
- Структурный синтез системы Способы коррекции системы
- Построение желаемой логарифмической характеристики системы
- Синтез последовательного корректирующего звена
- Синтез параллельного корректирующего звена
- Другие методы синтеза систем автоматического управления
- Реализация систем автоматического управления Промышленные регуляторы
- Особенности реализации промышленных регуляторов
- Настройка промышленных регуляторов
- Управление по возмущению
- Комбинированное управление
- Многосвязные системы регулирования
- Обеспечение автономности управления
- Библиографический список
- Предметный указатель
- Содержание