ТеорИнфМетоды / metod_1

2.8. Понятие о Wavelet-преобразованиях. Преобразование Хаара

В ряде случаев оказывается более удобным в качестве базисов разложения использовать такие системы функций, для которых коэффициенты разложения учитывают поведение исходной функции лишь в нескольких близкорасположенных точках.

Использование такого базиса по своей сути означает переход от частотного анализа к масштабному, т.е. функция f(x) анализируется с помощью некоторой “стандартной” математической функции, изменяемой по масштабу и сдвигу на некоторую величину.

Первое упоминание об этих функциях появилось в работах Хаара в 1909 году. В 30-е годы начались более детальные исследования возможностей представления сигналов с использованием базисных масштабируемых функций. Пол Леви, используя масштабируемую базисную функцию типа функции Хаара, исследовал разновидность случайного сигнала - броуновское движение. Он обнаружил преимущество в применении базисных функций Хаара перед функциями Фурье.

В период 60-х - 80-х годов Вейс и Кофман исследовали простейшие элементы функционального пространства, названные ими атомами, с целью обнаружить атомы для произвольной функции и найти "правила сборки", позволяющие реконструировать все элементы функционального пространства, используя эти атомы. В 1980 году Гроссман и Марлет определили такие функции как Wavelet-функции. В переводе с английского Wavelet – всплеск, поэтому в отечественной литературе встречается термин «разложение по всплескам» наряду с вейвлет-анализом.

В конце 80-х г.г. Мейер и Добичи на основе исследований Марлета создали ортогональные базисы Wavelet-функций, которые и стали основой современных Wavelet-функций. Сходство Wavelet и Фурье преобразований состоит в следующем:

1. Оба они являются линейными преобразованиями и предназначены для обработки блоков данных, содержащих log₂ N элементов.

2.Обратные матрицы ДПФ и DWT (discret wavelet transform) равны транспонированной, причем строки самих матриц содержат функции cos(x) и sin(x), а для DWT - более сложные базисные функции - wavelet.

Наиболее важное различие между этими двумя видами преобразований состоит в том, что отдельные функции wavelet локализованы в пространстве, а синусные и косинусные - нет. Благодаря этой особенности, DWT находит большое число применений, в том числе для сжатия данных, распознавания образов и подавления шумовой составляющей принимаемого сигнала.

Преобразование Wavelet состоит из неограниченного набора функций. Семейство Wavelet различают по тому, насколько компактны базисные функции в пространстве и насколько они гладки. Некоторые их них имеют фрактальную структуру. В каждом семействе они могут быть разбиты на подклассы по числу коэффициентов и уровню итераций. Чаще всего внутри семейства функция классифицируется по номеру моментов исчезновения.

Набор дискретных Wavelet-функций в общем виде может быть описан как

W_[s,l](x) = 2^-s/2W(2^-s,x-l), (2.27)

где s и l - целые числа, которые масштабируют и сдвигают материнскую функцию W(x) для создания wavelet.

Индекс масштаба s показывает ширину wavelet, а индекс смещения l определяет ее позицию. Материнские функции масштабированы или растянуты коэффициентом, кратным степени 2 и приведены к целому. Таким образом, если известна материнская функция, то может быть построен и весь базис.

В свою очередь, само Wawelet-преобразование может быть записано в виде [2,26]:

_N-2

V(x) = ∑(-1)^k z_k+l W(2x+l) (2.28)

^k=1

где Z_k+l – отсчеты исходного сигнала.

Метод разложения по всплескам широко используется для выделения шумовой компоненты при обработке данных.

К wavelet-подобным функциям относятся функции Хаара [6]. Для N=4 и N=8 матрицы ядра преобразования имеют вид:

Основные свойства матрицы ядра преобразования Хаара состоят в следующем:

а) ее элементы не мультипликативны

б) матрица не симметрична, откуда следует, что для обратного преобразования матрицу ядра необходимо транспонировать, т.е.

X_N^-1 = X_N^T

в) строки матрицы определяют переодические функции с периодом N.

Однако матрица ядра преобразования Хаара является не ортонормированной, т.е. для данного преобразования не выполняется теорема Парсеваля. Поэтому для выполнения теоремы Парсеваля требуется ввести дополнительную нормировку, такая нормировка заключается в умножении на 2 тех элементов вектора результатов, которые соответствуют строкам матрицы с нулевыми компонентами. Для строк, содержащих N/2 ненулевых элемента такое умножение выполняется один раз, для строк с N/4 ненулевыми элементами - два раза и так далее. Подобную нормировку необходимо выполнять как при выполнении прямого, так и обратного преобразования Хаара.

Близким к преобразованию Хаара является усеченное преобразование Адамара, отличающееся, по своей сути, лишь порядком следования строк матрицы ядра преобразования [6].

Итак, любое линейное преобразование может быть записано как векторно-матричная процедура:

F=kB_NX

где - вектор исходных данных;

- квадратная матрица размера N x N ядра преобразования;

- вектор результатов.

Если для матрицы B_N существует обратная матрица B_N^-1 (что справедливо для всех ортогональных преобразований), то существует и обратное преобразование:

X=kB_N^-1F.

Методы дискретных ортогональных преобразований в настоящее время широко используются при обработке сигналов. В таблице 2.2 приведены основные области применения спектральных методов и задачи, решаемые с их помощью [11].

Таблица 2.2

Содержание