Свойства преобразования Лапласа

При осуществлении преобразования Лапласа и выполнении математических операций с оригиналами и изображениями используются следующие свойства преобразования Лапласа.

1. Линейность преобразования Лапласа.

,

где  произвольные комплексные числа, F(p); (p) – изображения оригиналов f(p) и (t) соответственно.

Изображение линейной комбинации оригиналов равно такой же линейной комбинации их изображений.

2. Дифференцирование оригинала

n – кратному дифференцированию оригинала соответствует умножение изображения на pⁿ.

3. Интегрирование оригинала

Интегрированию интеграла в пределах от 0 до t соответствует деление изображения на р.

4. Смещение аргумента оригинала

, при этом , если .

Смещению аргумента оригинала на соответствует умножение изображения на .

5. Смещение аргумента изображения

Смещению аргумента изображения на соответствует умножение оригинала .

6. Умножение изображений (теория свертывания)

Операция называется сверткой.

Изображение свертки двух оригиналов равно произведению их изображений.

Переход от изображения к оригиналу осуществляется с помощью обратного преобразования Лапласа, выполняемого с использованием формулы обращения:

где С – абсцисса абсолютной сходимости, выбирается так, чтобы все полюсы подынтегральной функции находились слева от нее (рис. 28). Всегда должно быть С > s₀. На рис. 28  – полюсы функции-изображения.

О бозначение обратного преобразования Лапласа осуществляется символом L^-1 или 1/L.

.

Непосредственное использование формулы обращения вызывает значительные сложности. Для упрощения обратного перехода используются таблицы, приводимые в справочниках, и специальные приемы.

Так, если функция-изображение является дробной функцией: , то при выполнении обратного преобразования Лапласа применимо разложение Хевисайда. Пусть функция имеет m полюсов (корней уравнения B(p)=0), тогда

Пример. Выше мы получили для постоянной величины

Осуществим обратное преобразование Лапласа, используя разложение Хевисайда. В этом случае A(p)=A, B(p)=p, p_k=0, m=1,

, следовательно,

В результате обратного преобразования с использованием разложения Хевисайда получена постоянная величина А, что и следовало ожидать.