1.4. Линейные и нелинейные преобразования

Все преобразования ЦОС могут быть подразделены по своему типу на линейные и нелинейные преобразования [5,16,20,21].

Пусть - входная последовательность, а- выходная последовательность, связанная со входной через некоторое функциональное преобразованиеT

y(t₁)=Tx(t) (1.7)

Для линейных преобразований справедлив аддитивный закон :

, (1.8)

где a и b – некоторые константы. Таким образом, линейное преобразование, применяемое к суперпозиции исходных сигналов эквивалентно по своему воздействию суперпозиции результатов преобразования каждого из сигналов. Свойство линейности является весьма важным для практических приложений, поскольку позволяет значительно упростить обработку различных сложных сигналов, являющихся суперпозицией некоторых элементарных сигналов. Так, в частности, за простейший элементарный сигнал может быть принят моногармонический сигнал x(t), описываемый функцией:

где a - амплитуда, - частота, T - период, , - начальная фаза.

Тогда более сложный полигармонический сигнал может быть записан как суперпозиция простейших моногармонических сигналов:

Cогласно теории цифровой обработки сигналов, любой сигнал может быть представлен как суперпозиция взвешенных единичных импульсов следующим образом:

(1.9)

где x(t) – отсчет сигнала в некоторый момент времени.

Если на вход системы ЦОС, выполняющей линейное преобразование, поступает единичный импульс, то сигнал h(t), снимаемый с выхода системы и являющийся откликом системы на единичный импульс, носит название импульсной характеристики (импульсного отклика) системы. Импульсный отклик является важнейшей характеристикой системы и позволяет описать ее как “черный ящик”, задав реакцию системы на некоторый простейший эталонный сигнал.

Если h(t) конечна, то такие системы называются КИХ-системами, т.е. системами с конечной импульсной характеристикой. Если h(t) бесконечна, то это БИХ-системы, т.е. системы с бесконечной импульсной характеристикой. В цифровой обработке сигналов имеет смысл рассматривать только КИХ-системы, поскольку время обработки, т.е. реакции системы на входной сигнал должно быть конечно.

Подставив (1.9) в (1.7), получаем для линейных преобразований:

(1.10)

Таким образом, для линейной системы результат обработки любого поступившего на вход сложного сигнала может быть определен как суперпозиция импульсных откликов системы на поступившие на вход единичные импульсы с соответствующей начальной задержкой и весом, определяемым весом соответствующего отсчета исходного сигнала.

Примерами линейных преобразований могут служить преобразования Фурье, Хартли, свертка и корреляция. К нелинейным преобразованиям относятся, в частности, многие алгоритмы распознавания, гистограммные преобразования и ранговая фильтрация.