4.6. Оптимальный фильтр Винера

Определим импульсный отклик не рекурсивного адаптивного фильтра, позволяющего минимизировать среднеквадратичную погрешность при выделении сигнала из случайного шума.

Адаптивный фильтр формирует оценку:

(4.15)

где - ошибка,y_n - искомая величина, - оценка y_n .

(4.17)

- функция от последовательности входных сигналов x_n и набора весов фильтра h_k..

Всвою очередь:

где xn - исходный сигнал, S_n - белый шум с дисперсией .

Зададим как меру оценки среднеквадратичную ошибку:

При этом выходной сигнал может быть представлен в виде:

(4.20)

или

(4.21)

где ,.

Тогда:

Для определения минимума найдем производную поH^T:

Условие минимума:

Откуда:

Если вектор H^T и вектор ­Х­ не коррелированны, то:

(4.25)

- матрица автокорреляции входной сигнальной последовательности (размером NxN), y_nX_n^T=P- вектор взаимной корреляции между входным сигналом x_n и оцениваемым параметром y_n длиной N.

В итоге получаем:

или

(4.26)

Выражение (4.26) получило название уравнения Винера-Хопфа. Оно определяет правило формирования импульсного отклика адаптивного фильтра, обеспечивающего минимальную среднеквадратичную ошибку.

Адаптивный рекурсивный фильтр, позволяющий минимизировать среднеквадрачную ошибку сигнала при выделении его на фоне случайного шума, получил название фильтра Калмана [24].