Вопросы для самопроверки

1. Перечислите принципы управления и поясните их.

2. Что представляет собой закон управления?

3. Каково назначение регулятора в системе?

4. По каким признакам классифицируются системы управления?

5. Дайте классификацию систем по виду задающего воздействия.

6. Назовите необходимые и достаточные условия линейности систем.

Что представляет собой система управления? Перечислите основные элементы системы автоматического управления

Раздел 3. ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ И непрерывных СИСТЕМ

При работе с данным разделом Вам предстоит:

1) Изучить четыре темы:

а. виды математического описания;

б. частотные характеристики динамических систем;

в. логарифмические частотные характеристики типовых соединений звеньев;

г. математические модели динамических систем в форме переменных состояния.

2) Ответить на вопросы теста № 3.

1. 3.1. Виды математических моделей САУ

Изучаемые вопросы:

• Математические модели;

• Преобразование структурных схем;

• Частотные характеристики;

• Типовые звенья;

• Логарифмическо - частотные характеристики

• Математические модели в форме переменных состояния

Целью математического описания САУ является составление той или иной математической модели, используемой в дальнейшем для анализа и синтеза САУ. Любая математическая модель является, приближением к действительному состоянию взаимодействия отдельных информационных параметров объекта или всей системы в целом и отражает наиболее существенные взаимосвязи между переменными величинами. Так большинство переменных величин объектов и систем управления подвергается ограничению естественным или искусственным путем. Множество зависимостей между информационными параметрами являются нелинейными и должны быть представлены нелинейными математическими моделями. Однако в рамках настоящего пособия рассматриваются линейные математические модели, так как многие режимы функционирования САУ характеризуются незначительными изменениями переменных величин, в пределах которых зависимости между величинами могут считаться линейными. Системы, работающие в полных диапазонах изменений переменных, а также системы, содержащие элементы с явно выраженными нелинейными характеристиками (например, релейными), являются существенно нелинейными системами и рассматриваются в курсе «Нелинейные системы управления».

Различают следующие виды математических моделей САУ:

1. дифференциальные и разностные уравнения систем управления и их элементов;

2. векторно-матричные модели в пространстве состояний;

3. передаточные функции элементов и систем управления;

4. структурные схемы систем управления;

5. направленные графы систем управления;

6. временные характеристики САУ;

7. частотные характеристики САУ.

Эти же виды математических моделей в той или иной мере используются и для описания нелинейных САУ.

Дифференциально-разностные уравнения САУ

Дифференциальные (в частных случаях, алгебраические) уравнения непрерывных систем и разностные уравнения дискретных систем являются основной первичной формой математического описания любой САУ. Они могут использоваться самостоятельно для выполнения задач анализа и синтеза или служить основой для создания других форм математического описания.

Дифференциальные и алгебраические уравнения непрерывных САУ составляются на основании изучения и осознания основных физических, химических и информационных процессов, происходящих в объекте управления и системе в целом. Часто для записи уравнений используются уже известные законы, устанавливающие связь между технологическими переменными величинами.

Рассмотрим, в качестве примера, составление уравнений для двигателя постоянного тока независимого возбуждения, управляемого изменением напряжения, приложенного к якорю. Модель двигателя (рис.2.1) включает якорную цепь, содержащую сопротивление R­_я и индуктивность L_я якоря с противоэдс якоря E. Питание цепи якоря подается от источника напряжением U. Вал двигателя, вращающийся с угловой скоростью , соединен с рабочим органом РО, создающим момент сопротивления на валу двигателя.

Уравнение равновесия напряжений электрической цепи якоря двигателя:

U - E = i_ЯR_Я + L_Я (3.1)

На основании закона электромагнитной индукции противоэдс двигателя:

E = C_eФ, (3.2)

где с_е – конструктивный коэффициент; Ф – поток возбуждения, принимаемый постоянным; Ф = const.

В соответствии с законом Ньютона для вращательного движения уравнение движения вала двигателя:

J = M_g-M­_c, (3.3)

где J – момент инерции движущихся частей двигателя и рабочего органа, приведенных к валу двигателя;

M_g = C_МФi_Я, (3.4)

где C_М – конструктивный коэффициент; M_c- момент сопротивления на валу двигателя. Таким образом, уравнение (3.1 – 3.4) образуют математическую модель двигателя постоянного тока. Два из них (3.1 и 3.3) – дифференциальные уравнения, два другие (3.2 и 3.4) – алгебраические. Все уравнения линейные, так как зависимости E = f() и M_g = f(i_Я) суть прямые линии (C_eФ и C_МФ = const), а коэффициенты дифференциальных уравнений (J, R_Я, L_Я, M_e) постоянные.

Преобразование Лапласа

Несмотря на неограниченные возможности компьютерных технологий по решению систем дифференциальных и разностных уравнений преобразование Лапласа остается по-прежнему широко используемым при решении задач анализа и синтеза САУ.

Непрерывным преобразованием Лапласа непрерывной временной функции f(t) называется следующее преобразование

,

где s =  + j,  и  - постоянные, j = . Преобразуемая функция f(t) часто называется оригиналом, а F(s) – изображением функции f(t). К функции f(t) предъявляется требование, чтобы она была однозначной и удовлетворяла условию f(t) = = 0 при t < 0.

Приведем в качестве примеров непрерывного преобразования изображения единичной ступенчатой функции f(t) = 1(t).

.

Основные свойства преобразования Лапласа

1. Свойство линейности.

Непрерывное преобразование Лапласа являются линейным, т. е. изображение линейной комбинации функций равно линейной комбинации их изображений.

Так если , то

.

2. Изображение смещенной функции (теорема сдвига)

Сдвигу функции оригинала на , т. е. соответствует умножение непрерывного изображения на:

.

3. Изображение производной (конечной разности) n -порядка

Если , то, приf(0) = 0 и всех ,k = 1, 2, …, n-1. Другими словами взятию производной n-го порядка соответствует при нулевых начальных условиях умножение изображения на sⁿ.

4.Изображение интеграла (конечной суммы) функции-оригинала

Свойства изменения изображений функции после ее интегрирования или взятия конечной суммы в дискретном варианте является “обратными” по отношению к свойствам дифференцирования или взятия конечных разностей:

Резюмируя свойства 3 и 4 отметим, что s – оператор дифференцирования в непрерывной области; 1/s – оператор интегрирования в непрерывной области.

5. Свойство изображения свертываемых функций (теорема свертки)

Сверткой двух непрерывных называется функция, значения которой вычисляются согласно для непрерывного времени.

Формулировка свойства об изображении свертки для непрерывного времени:

- изображение свертки равно произведению изображений свертываемых функций.

Если и, то

.

6. Определение начального значения функции оригинала по известному изображению

Зная изображение F(s) можно сравнительно просто вычислить начальное и конечное значения функции-оригинала.

Начальное значение непрерывной функции

.

6. Конечное значение функции-оригинала

В непрерывном времени .

Преобразование дифференциальных и разностных уравнений.

Пусть непрерывная система описывается уравнением

,

где y(t), g(t), f(t) – выходная управляемая величина, управляющее и возмущающее воздействие соответственно; a₀, …, a_n; b₀, …, b_m; c₀, …, c_e – постоянные коэффициенты. Предположим, что система работает при нулевых начальных условиях, т. е. при t = 0 имеем . Подвергнем заданное дифференциальное уравнение преобразованию Лапласа, используя свойства линейности и изображения производной,

где Y(s), G(s), F(s) – изображения по Лапласу функций y(t), g(t), f(t).

Перепишем полученное уравнение в более сжатой форме

Сравнивая полученное уравнение с исходным, приходим к правилу преобразования по Лапласу любого дифференциального уравнения:

чтобы получить преобразованное по Лапласу уравнение, необходимо операторы дифференцирования заменить комплексными операторамиs =  + j, а все временные функции заменить их изображением.

Отметим, что преобразование по Лапласу уравнение является алгебраическим, что в корне облегчает все математические операции при его использовании.

Теперь возьмем отношения изображений присутствующих в уравнении величин, принимая одну из них (управление G(s) или возмущение F(s)) равной нулю:

.

Полученные отношения представляют собой передаточные функции системы по управляющему и возмущающему воздействиям:

.

Передаточной функцией системы (элемента системы) называется отношение изображений по Лапласу выходной и входной величин при нулевых начальных условиях.

Понятие передаточной функции является одним из фундаментальных в теории автоматического управления и широко используется на различных стадиях анализа и синтеза систем управления.