logo
Методическое пособие по ОТУ

6.4. Метод гармонической линеаризации

Идея метода гармонической линеаризации принадлежит Н.М. Крылову и Н.Н. Боголюбову и базируется на замене нелинейного элемента системы линейным звеном, параметры которого определяются при гармоническом входном воздействии из условия равенства амплитуд первых гармоник на выходе нелинейного элемента и эквивалентного ему линейного звена. Данный метод может быть использован в том случае, когда линейная часть системы является низкочастотным фильтром, т.е. отфильтровывает все возникающие на выходе нелинейного элемента гармонические составляющие, кроме первой гармоники.

Коэффициенты гармонической линеаризации и эквивалентные комплексные коэффициенты передачи нелинейных элементов. В нелинейной системе (рис. 6.1) параметры линейной части и нелинейного элемента выбирают таким образом, чтобы существовали симметричные периодические колебания с частотой .

В основе метода гармонической линеаризации нелинейностей (рис. 6.10), описываемых уравнением

yн = F(x), (6.17)

лежит предположение, что на вход нелинейного элемента подается гармоническое воздействие с частотой  и амплитудой a, т.е.

x = a sin , где  = t, (6.18)

а из всего спектра выходного сигнала выделяется только первая гармоника

yн1 = aн1 sin( + н1), (6.19)

где aн1 - амплитуда а н1 - фазовый сдвиг;

при этом высшие гармоники отбрасываются и устанавливается связь между первой гармоникой выходного сигнала и входным гармоническим воздействием нелинейного элемента.

Рис. 6.8

В случае нечувствительности нелинейной системы к высшим гармоникам нелинейный элемент может быть в первом приближении заменен некоторым элементом с эквивалентным коэффициентом передачи, который определяет первую гармонику периодических колебаний на выходе в зависимости от частоты и амплитуды синусоидальных колебаний на входе.

Для нелинейных элементов с характеристикой (6.17) в результате разложения периодической функции F(x) в ряд Фурье при синусоидальных колебаниях на входе (6.18) получим выражение для первой гармоники сигнала на выходе

yн1 = b1F sin + a1F cos, (6.20)

где b1F, a1F - коэффициенты разложения в ряд Фурье, определяющие амплитуды соответственно синфазной и квадратурной составляющих первой гармоники, которые определяются по формулам:

Так как

px = a cos , где p = d/dt,

то связь между первой гармоникой периодических колебаний на выходе нелинейного элемента и синусоидальными колебаниями на его входе можно записать в виде

yн1 = [q + ] x, (6.21)

где q = b1F/a, q = a1F/a.

Последнее уравнение называется уравнением гармонической линеаризации, а коэффициенты q и q - коэффициентами гармонической линеаризации.

Таким образом, нелинейный элемент при воздействии гармонического сигнала с точностью до высших гармоник описывается уравнением (6.21), которое является линейным. Это уравнение нелинейного элемента отличается от уравнения линейного звена тем, что его коэффициенты q и q изменяются при изменении амплитуды a и частоты  колебаний на входе. Именно в этом заключается принципиальное отличие гармонической линеаризации от обычной, коэффициенты которой не зависят от входного сигнала, а определяются только видом характеристики нелинейного элемента.

Для различных видов нелинейных характеристик коэффициенты гармонической линеаризации сведены в таблицу. В общем случае коэффициенты гармонической линеаризации q(a, ) и q(a, ) зависят от амплитуды a и частоты  колебаний на входе нелинейного элемента. Однако, для статических нелинейностей эти коэффициенты q(a) и q(a) являются функцией только амплитуды a входного гармонического сигнала, а для статических однозначных нелинейностей коэффициент q(a) = 0.

Подвергнув уравнение (6.21) преобразованию по Лапласу при нулевых начальных условиях с последующей заменой оператора s на j (s = j), получим эквивалентный комплексный коэффициент передачи нелинейного элемента

WЭ(j, a) = q + jq = AЭ(, a) e jэ(, a), (6.22)

где модуль и аргумент эквивалентного комплексного коэффициента передачи связаны с коэффициентами гармонической линеаризации выражениями

AЭ(, a) = mod WЭ(j, a) =

Э(, a) = arg WЭ(j, A) = arctg[q(a, )/q(a, )].

Эквивалентный комплексный коэффициент передачи нелинейного элемента позволяет определить амплитуду и фазовый сдвиг первой гармоники (6.19) на выходе нелинейного элемента при гармоническом воздействии (6.18) на его входе, т.е.

aн1 = aAЭ(, a); н1 = Э(, a).

Исследование симметричных периодических режимов в нелинейных системах. При исследовании нелинейных систем на основе метода гармонической линеаризации в первую очередь решают вопрос о существовании и устойчивости периодических режимов. Если периодический режим устойчив, то в системе существуют автоколебания с частотой 0 и амплитудой a0.

Рассмотрим нелинейную систему (рис. 6.5), включающую в себя линейную часть с передаточной функцией

(6.23)

и нелинейный элемент с эквивалентным комплексным коэффициентом передачи

WЭ(j, a) = q(, a) + jq(, a) = AЭ(, a) e jэ(, a). (6.24)

Принимая во внимание выражение (6.21), можно записать уравнение нелинейной системы

{A(p) + B(p)[q(, a) + ]}x = 0. (6.25)

Если в замкнутой нелинейной системе возникают автоколебания

x = a0 sin 0t

с постоянной амплитудой и частотой, то коэффициенты гармонической линеаризации оказываются постоянными, а вся система стационарной. Для оценки возможности возникновения автоколебаний в нелинейной системе методом гармонической линеаризации необходимо найти условия границы устойчивости, как это делалась при анализе устойчивости линейных систем. Периодическое решение существует, если при a = a0 и  = 0 характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы

A(p) + B(p)[q(, a) + ] = 0 (6.26)

имеет пару мнимых корней i = j0 и i+1 = j0. Устойчивость решения необходимо оценить дополнительно.

В зависимости от методов решения характеристического уравнения различают методы исследования нелинейных систем.

Аналитический метод. Для оценки возможности возникновения в нелинейной системе автоколебаний в гармонически линеаризованный характеристический полином системы вместо p подставляют j

D(j, a) = A(j) + B(j)[q(, a) + jq(, a)]. (6.27)

В результате получают уравнение D(j, a) = 0, коэффициенты которого зависят от амплитуды и частоты предполагаемого автоколебательного режима. Выделив вещественную и мнимую части

Re D(j, a) = X(, a);

Im D(j, a) = Y(, a),

получим уравнение

X(, a) + jY(, a) = 0. (6.28)

Если при действительных значениях a0 и 0 выражение (6.28) удовлетворяется, то в системе возможен автоколебательный режим, параметры которого рассчитываются по следующей системе уравнений:

(6.29)

Из выражений (6.29) можно найти зависимость амплитуды и частоты автоколебаний от параметров системы, например, от коэффициента передачи k линейной части системы. Для этого необходимо в уравнениях (6.29) коэффициент передачи k считать переменной величиной, т.е. эти уравнения записать в виде:

(6.30)

По графикам a0 = f(k), 0 = f(k) можно выбрать коэффициент передачи k, при котором амплитуда и частота возможных автоколебаний имеет допустимые значения или вообще отсутствует.

Частотный метод. В соответствии с критерием устойчивости Найквиста незатухающие колебания в линейной системе возникают в том случае, когда амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы проходит через точку с координатами [1, j0]. Данное условие является также условием существования автоколебаний в гармонически линеаризованный нелинейной системе, т.е.

Wн(j, a) = 1. (6.31)

Так как линейная и нелинейная части системы соединены последовательно, то частотная характеристика разомкнутой нелинейной системы имеет вид

Wн(j, a) = Wлч(j)WЭ(j, a). (6.32)

Тогда в случае статической характеристики нелинейного элемента условие (6.31) принимает вид

Wлч(j) = . (6.33)

Решение уравнения (6.33) относительно частоты и амплитуды автоколебаний можно получить графически как точку пересечения годографа частотной характеристики линейной части системы Wлч(j) и годографа обратной характеристики нелинейной части , взятой с обратным знаком (рис. 6.9). Если эти годографы не пересекаются, то режим автоколебаний в исследуемой системе не существует.

Рис. 6.9

Для устойчивости автоколебательного режима с частотой 0 и амплитудой a0 требуется, чтобы точка на годографе нелинейной части , соответствующая увеличенной амплитудеa0+a по сравнению со значением в точке пересечения годографов, не охватывалась годографом частотной характеристики линейной части системы и охватывалась точка, соответствующая уменьшенной амплитуде a0a.

На рис. 6.9 дан пример расположения годографов для случая, когда в нелинейной системе существуют устойчивые автоколебания, так как a3 < a0 < a4 .

Исследование по логарифмическим частотным характеристикам.

При исследовании нелинейных систем по логарифмическим частотным характеристикам условие (6.31) переписывают отдельно для модуля и аргумента эквивалентного комплексного коэффициента передачи разомкнутой нелинейной системы

mod Wлч(j)Wэ(j, a) = 1;

arg Wлч(j)Wэ(j, a) =  (2k+1), при k=0, 1, 2, ...

с последующим переходом к логарифмическим амплитудной и фазовой характеристикам

Lлч() + Lэ(, a) = 0; (6.34)

лч() + э(, a) =  (2k+1), при k=0, 1, 2, ... (6.35)

Условия (6.34) и (6.35) позволяют определить амплитуду a0 и частоту 0 периодического решения уравнения (6.25) по логарифмическим характеристикам линейной части системы Lлч(), лч() и нелинейного элемента Lэ(, a), э(, a).

Автоколебания с частотой 0 и амплитудой a0 будут существовать в нелинейной системе, если периодическое решение уравнения (6.25) устойчиво. Приближенный метод исследования устойчивости периодического решения заключается в том, что исследуется поведение системы при частоте  = 0 и значениях амплитуды a = a0 + a и a = a0  a, где a > 0 - малое приращение амплитуды. При исследовании устойчивости периодического решения при a0 + a и a0  a по логарифмическим характеристикам пользуются критерием устойчивости Найквиста.

В нелинейных системах с однозначными статическими характеристиками нелинейного элемента коэффициент гармонической линеаризации q(a) равен нулю, а следовательно, равен нулю и фазовый сдвиг э(a), вносимый элементом. В этом случае периодическое решение уравнения системы

[A(p) + B(p)q(a)]x = 0 (6.36)

существует, если выполняются условия:

Lлч() =  Lэ(a); (6.37)

лч() =  (2k+1), при k=0, 1, 2, ... (6.38)

Уравнение (6.38) позволяет определить частоту  = 0 периодического решения, а уравнение (6.37)  его амплитуду a = a0.

При сравнительно простой линейной части решения этих уравнений могут быть получены аналитически. Однако в большинстве случаев их целесообразно решать графически (рис. 6.12).

При исследовании устойчивости периодического решения уравнения (6.36), т.е. при определении существования автоколебаний в нелинейной системе с однозначной нелинейной статической характеристикой пользуются критерием Найквиста: периодическое решение с частотой  = 0 и амплитудой a = a0 устойчиво, если при изменении частоты от нуля до бесконечности и положительном приращении амплитуды a > 0 разность между числом положительных (сверху вниз) и отрицательных (снизу вверх) переходов фазовой характеристики линейной части системы лч() через линию  равна нулю в диапазоне частот, где Lлч()Lэ(0,a0+a), и не равна нулю в диапазоне частот, где Lлч()Lэ(0,a0a).

На рис. 6.10 показан пример определения периодических решений в нелинейной системе с ограничением. В такой системе имеются три периодических решения с частотами 01, 02 и 03, определяемыми в точках пересечения фазовой характеристики лч() с линией 1800. Амплитуды периодического решения a01, a02 и a03 определяются из условия (6.37) по логарифмическим амплитудным характеристикам нелинейного элемента Lэ(01, a), Lэ(02, a) и Lэ(03, a).

Рис. 6.10

Из трех решений, определенных на рис. 6.10, устойчивы два. Решение с частотой  = 01 и амплитудой a = a01 устойчиво, так как в диапазоне частот 1, где Lлч()Lэ(01,a01+a), фазовая характеристика лч() не пересекает линию 1800, а в диапазоне частот 2, где Lлч()Lэ(01,a01a), фазовая характеристика лч() один раз пересекает линию 1800. Решение с частотой  = 02 и амплитудой a = a02 неустойчиво, так как в диапазоне частот, где Lлч()Lэ(02,a02+a), фазовая характеристика лч() один раз пересекает линию 1800. Высокочастотное периодическое решение с частотой  = 03 и амплитудой a = a03 устойчиво, так как в диапазоне частот, где Lлч()Lэ(03,a03+a), имеется один положительный и один отрицательный переход фазовой характеристики лч() через линию 1800, а в диапазоне частот, где Lлч()Lэ(03,a03a), имеются два положительных и один отрицательный переход фазовой характеристики лч() через линию 1800.

В рассмотренной системе при малых по величине возмущениях установятся высокочастотные автоколебания с частотой 03 и амплитудой a03, а при больших по величине возмущениях  низкочастотные автоколебания с частотой 01 и амплитудой a01.