logo
Методическое пособие по ОТУ

Ей соответствует разностное уравнение

a0y(n + q) + a1y(n + q - 1) +…+ aqy(n) = b0u(n + q) + b1u(n + q - 1) +…+ bqu(n).

Переменные состояния примем следующие:

X1(n) = y(n);

X2(n) = x1(n + 1) = y(n + 1);

X3(n) = x2(n + 1) = y(n + 2);

………………………………

Xq(n) = xq-1(n + 1) = y(n + q - 1);

Xq(n + 1) = y(n + q).

Подставим их в разностное уравнение, приняв a0 = 1, bq = 1, b0 = b1 = = … = bq-1 = 0, y(n+q) = xq(n+1) = - a1xq(n) - a2xq-1(n) -…- aqx1(n) + u(n).

Полученные уравнения можно представить в виде векторно-матричного уравнения состояний:

= +

Совместно с уравнением выхода

Y(n)=[10…0].

Вводя обозначения: X – вектор переменных состояния; А - матрица системы; В – матрица входа; С –матрица выхода; - записываем векторно-матричное уравнение дискретной системы в комплексной форме:

X(n + 1) = AX(n) + BU(n); Y(n) = CX(n).

Можно получить выражения матриц A,B и С и в более общем случае, когда bq 1 и b0 bq-10 [1].

Решение дискретного уравнения состояния с помощью

Z-преобразования

Рассмотрим дискретное уравнение состояния X(n+1)=A*X(n)+B*U(n), где A* = eAT= L-1{(SI-A)-1}|t=T; B* = []B. Подвергнем обе части уравнения состояния Z-преобразованию zX(z) - zX(0) = A*X(z) + B*U(z). Отсюда X(z) = (zI - A*)-1zX(0) + (zI - A*)-1B*u(z). Подвергая обратному Z- преобразованию, имеем X(n) = Z-1{(zI - A*)-1z}X(0) + Z-1{(zI - A*)-1B*u(z)}. Покажем, что обратное Z – преобразование от (zI - A*)-1 есть дискретная переходная матрица состояния A(kT).

Z – преобразование A(kT) определяется общей формулой Z –преобразования A(z) = =. Умножим обе части последнего уравнения на A*z-1 и вычтем результат из последнего уравнения. Получим (I - A*z-1)A(z) = I, откуда A(z) = (I - A*z-1)-1 = (zI - A*)-1z.

Вычисляя обратное Z – преобразование, получим A(kT) = Z-1{(zI-A)-1z}.

Это выражение и является основой способа определения переходной матрицы состояния, основанного на Z – преобразовании.

Второе слагаемое в выражении для X(n) вычисляем с помощью теоремы свертки и выражение для A(kT);

Z-1{(zI - A*)-1B*U(z)} =