1.5. Гармонічна та вібраційна лінеаризація нлс

Гармонічна лінеаризація використовується для наближеного дослідження автоколивань НЛС, дозволяє визначити умови виникнення і параметри цих коливань.

Нелінійна система подається у вигляді 2-х частин: W_л(р) – передаточна функція лінійної частини; - нелінійна ланка (рис.1.11).

Рис.1.11. Розрахункова схема методу гармонійної лінеаризації

Приймається, що в системі існують автоколивання. Вхідний сигнал нелінійної ланки є синусоїдним:

(1.16)

де: х₀ – постійна складова, коли автоколивання несиметричні;

А, - амплітуда та частота автоколивань.

В реальних системах автоколивання відрізняються від синусоїдальних, тому метод гармонійної лінеаризації є принципово наближеним. Приймається також, що лінійна частина системи є фільтром нижніх частот, тобто не пропускає вищі гармоніки автоколивань. Друга гармоніка, частотою 2 , фактично не проходить на вхід нелінійної ланки, тоді можна застосовувати метод гармонійної лінеаризації. Якщо частота автоколивань (рис.1.11,б), то лінійна частина вільно пропускає другу, третю і інші гармоніки. В цьому випадку метод гармонійної лінеаризації застосовувати не можна, тому що коливання на вході НЛ можуть відрізнятись від синусоїдальних. Але це визначається лише тоді, коли відома частота автоколивань, що в свою чергу потребує застосування методу гармонійної лінеаризації. Ефективним методом подолання цього протиріччя є використання інтеративних процедур, приймаючи до розгляду лише основну гармоніку автоколивань.

Вихідні коливання розкладають в ряд Фур’є і відкидають вищі гармоніки:

(1.16)

де: (1.17)

Вираз (1.17) перепишемо в більш зручній формі з урахуванням виразів для і з (1.16):

(1.18)

Після підстановки в (1.16) отримаємо:

(1.19)

або: (1.20)

де: k_Г0, k_Г, k_Г1 – коефіцієнти гармонічної лінеаризації:

(1.21)

Ці коефіцієнти є функціями . При фіксованих значеннях рівняння (1.20) буде лінійним, що дає можливість замінити НЛ еквівалентною лінійною, структура якої показана на рис.1.12.

Рис.1.12. Структура еквівалентної ланки

Для типових нелінійностей визначені формули для , причому у випадку безінерційних НЛ значення коефіцієнтів не залежать від , а визначаються лише А і х₀.

При гармонійній лінеаризації нелінійна ланка НЛ замінюється еквівалентною лінійною відносно постійної складової х₀, а відносно коливальної складової така заміна є наближеною. Крім того, приймається, що спектр коливальної складової складається з однієї гармоніки і вона не спотворюється.

Одним з методів зменшення небажаного впливу люфтів , зазорів, сухого тертя є накладання на неповний, як правило, низькочастотний сигнал додаткового високочастотного. Такі вібраційні коливання покращують якість системи, а додатковим сигналом можуть бути як власні автоколивання, так і зовнішні сигнали від спеціального генератора. На цьому заснована вібраційна лінеаризація, ефект якої покажемо на прикладі нелінійного елемента з релейною характеристикою (рис.1.13). На вхід реле поступає низькочастотний сигнал x₀(t) та додатковий високочастотний :

(1.22)

Рис.1.13. Вібраційна лінеаризація релейної характеристики

Частота додаткового сигналу повинна бути достатньою для того, щоб основний сигнал x₀(t) на протязі кількох періодів додаткового залишався постійним, а амплітуда була достатньою для спрацьовування релейного елемента. Крім того, лінійна частина системи повинна подавлювати складові з частотою та більш високих гармонік:

(1.23)

де: - частота пропускання лінійної частоти.

Вихідний сигнал реле

(1.24)

можна розкласти в ряд Фур’є (при цьому інтервал розкладання – період Т для повинен бути таким, щоб на ньому ). По аналогії з гармонійною лінеаризацією можна записати:

(1.25)

тобто принцип суперпозиції не виконується, а лінеаризоване рівняння буде мати вигляд:

(1.26)

де: q – коефіцієнт, який залежить від максимального значення х та параметрів вихідного сигналу y.

Для релейного елемента, статична характеристика якого показана на рис.1.13,в, значення y₀ визначається так:

(1.27)

тобто умови проходження основного сигналу х₀ через нелінійний елемент залежить від амплітуди додаткового сигналу .

Ефект вібраційної лінеаризації показана на рис.1.13,в,г. При збільшенні релейна характеристика лінеаризується.

За допомогою періодичних зовнішніх сигналів можна зменшити або усунути власні автоколивання, при цьому за певних значень частоти та амплітуди система під впливом сигналу може перейти з режиму автоколивань з частотою в режим змушених коливань з частотою (“захоплювання” частоти). Змушені коливання мають при цьому меншу амплітуду та більшу частоту, ніж автоколивання, тобто якість нелінійної системи покращується.

Змушені високочастотні вібрації нелінійного елемента можна викликати як зовнішнім генератором, так і за рахунок власних автоколивань, для чого організується внутрішній автоколивальний контур, який охоплює нелінійний елемент. Параметри контуру обираються так, щоб частота автоколивань була досить великою, а амплітуда перевищувала низькочастотну складову х₀(t).