4.1. Загальні положення

Проблема оптимізації є однією з найбільш важливих як для науки, так і для повсякденної діяльності людини, тому що людина органічно намагається отримати найкращий результат (оптимальне рішення) в конкретних умовах. Отже, оптимізація – цілеспрямована діяльність, направлена на досягнення найкращого результату в певному смислі за існуючих умов (вимог, обмежень). Показник, за яким оцінюється якість функціонування системи, називається критерієм оптимальності. В автоматичних або автоматизованих системах оптимальне керування можна отримати у вигляді:

• оптимальної програми, заданої, як правило, у часі. Така система є розімкненою, тому реальна траекторія руху системи відрізняється від розрахункової в зв’язку з наявністю неконтрольованих збурень та неточностями використовуваних математичних моделей;

• оптимальної стратегії, коли оптимальне керування задається як функція фазових координат та вхідного сигналу, а система є замкненою. В цьому випадку зберігаються всі достоїнства систем, побудованих за принципом зворотнього зв’язку.

Визначення оптимальної програми є більш простою задачею, але основний інтерес представляють задачі другої групи. В цьому випадку задача оптимізації розв’язується повністю, тобто визначається структура і параметри системи.

Для отримання розв’язків задач оптимізації використовуються різні математичні методи, основними є варіаційне счислення, принцип максимума Л.С.Понтрягіна, метод динамічного програмування Р.Беллмана. Отримана оптимальна стратегія повинна реалізовуватись конкретною системою,регулятором. В той же час необхідно усвідомлювати, що отримання точних розв’язків задач оптимізації можливе лише в окремих випадках, а основним підходом до розв’язання реальних задач є наближена чисельна оптимізація,

В теорії автоматичного керування класична постановка задач оптимального керування формується так: існує нескінченна множина допустимих керувань, які переводять об’єкт з початкового стану П в кінцевий К при введених або об’єктивно існуючих обмеженнях (рис.4.1). В той же час серед допустимих керувань є лише одне, оптимальне, яке приводить до найкращого результату, що визначається критерієм оптимальності.

Рис.4.1. Оптимальна траекторія у фазовому просторі.

В загальній постановці задача оптимізації включає:

- узагальнений показник (критерій оптимальності) – функціонал:

, (4.1)

де: - відповідно керування, координати стану, вихідні змінні, збурення, [ ] – інтервал часу керування, зокрема часу перехідного процесу. Критерій оптимальності повинен досягти екстремуму (min або max) за існуючих умов:

- допустимі управління

, (4.2)

- допустимі області стану

, (4.3)

- допустимі значення вихідних змінних

, (4.4)

Важливим напрямом в техніці є оптимізація технологічних процесів, тобто визначення такого технологічного режиму, який здійснюється системою керування для забезпечення

Задачі оптимізації мають різний зміст і різне призначення, їх можна класифікувати за різними ознаками:

• за обмеженнями на стан об’єкта та час керування: без обмежень, коли вони належать всьому простору станів; з фіксованим часом, коли час є відомою обмеженою величиною; із закріпленим правим кінцем траекторії, коли існує єдина точка, в яку повинен попасти об’єкт при ; з вільним правим кінцем, коли момент часу фіксований, але обмеження на положення вектора відсутні, тобто його кінець може бути в довільній точці;

• за режимом роботи об’єкта: задача статичної оптимізації, коли зовнішні діяння постійні або змінюються повільно, тоді , об’єкт описується алгебраїчними рівняннями статики. Ця задача відноситься до задачі лінійного програмування з лінійними цільовими функціями, рівняннями статики та обмежень. В частинному випадку задача статичної оптимізації стає задачею екстремального регулювання, коли цільова функція передбачає підтримання режиму, який відповідає екстремуму статичної характеристики об’єкта; задача динамічної оптимізації, коли об’єкт описується нелінійними диференціальними рівняннями, або рівняннями в координатах стану;

• за характеристиками зовнішніх діянь: детермінована задача, коли діяння відсутні або описуються конкретними функціями; ­стохастична задача, коли діяння є випадковими;

• в залежності від повноти апріорної та неточної інформації про стан об’єкта, збурення на завдання: з повною інформацією (максимально можливою); з неповною і пасивним накопиченням в процесі керування; з неповною і активним накопиченням.

Системи з повною інформацією працюють за „жорсткими” законами керування і постійними параметрами настройки. Системи з пасивним та активним накопичуванням інформації вивчають умови роботи об’єкта та змінюють структуру та (або) параметри настройки відповідно до умов роботи, це – адаптивні системи;

• за структурою системи керування: розімкнені – задача оптимального програмного керування; замкнені – задача стратегічного керування, синтезу оптимальних керувань;

• за кількістю критеріїв керування з одним (задачі скалярної оптимізації), з кількома критеріями – задачі векторної оптимізації.

В залежності від характеру задачі оптимізації обираються методи їх розв’язання, які можна розбити на групи:

- аналітичні: пошук екстремуму функцій; множників Лагранжа; варіаційного счислення; принцип максимума Л.С. Понтрягіна;

- математичного програмування: динамічного програмування Р. Беллмана; лінійного та нелінійного програмування;

- пошукові методи;

- методи автоматичної оптимізації.

Таким чином, для оптимального керування об’єктами необхідно виконати етапи: обрати мету системи, критерій оптимальності та обмеження, визначити методику розв’язання задачі, розкрити структуру системи та реалізувати її за допомогою технічних засобів.