11.3 Задачи анализа и синтеза аср при случайных воздействиях. Расчет дисперсии ошибки, параметрический синтез аср по минимуму дисперсии Задачи анализа и синтеза аср при случайных воздействиях

Так как устойчивость линейных систем является свойством системы и не зависит от характера воздействия, то устойчивость при случайных воздействиях определяется также, как и для детерминированных.

Качество систем при детерминированных воздействиях оценивается с помощью показателей качества, таких как tp, , T и т.д. При случайных воздействиях они теряют смысл, так как входные и выходные величины являются случайными функциями времени и при исследовании рассматривают не сами процессы, а их статистические свойства, т.е. определяют не мгновенные значения процессов, а их средние значения.

При случайных воздействиях ошибка системы (t) = x(t)-y(t) также является случайной величиной, при этом используют ее усредненное значение – среднюю квадратичную ошибку

(11.3.1)

Эта ошибка используется для оценки точности или качества систем при случайных воздействиях.

Недостатки средней квадратичной ошибки:

1.Она обеспечивает минимум не мгновенного, а среднего значения, при этом мгновенное значение может быть недопустимо большим.

2. Она недооценивает малые ошибки и придает чрезмерное значение большим ошибкам, так как ее значение возводится в квадрат.

Синтез оптимальных передаточных функций САУ при случайных воздействиях

Если на входе системы помимо управляющего есть и возмущающее воздействие (помеха), то ошибка такой системы состоит из двух составляющих. Часто оказывается, что стремление уменьшить одну составляющую приводит к увеличению второй и наоборот. Задача синтеза и состоит в том, чтобы обеспечить минимально возможную сумму обеих составляющих.

Возможны несколько способов решения задачи синтеза. Первый и наиболее простой применим, если уже известна структура системы. В этом случае необходимо, используя выше приведенные выражения определить СКО как функцию варьируемых параметров системы и обычным методом определить их значения, дающие минимум ошибки. Еще один способ применим когда полезный сигнал имеет более низкочастотный спектр, чем помеха (рис.11.3.1).

Рис.11.3.1. АЧХ системы спектральные плотности полезного сигнала и помехи

В этом случае полоса пропускания системы должна быть выбрана достаточно широкой для обеспечения необходимой точности воспроизведения полезного сигнала, но такой ширины, чтобы полностью отфильтровать помехи.

В наиболее общем случае, когда спектры полезного сигнала и помехи накладываются друг на друга систему строят так, чтобы ее частотная характеристика максимально приближалась к спектральной характеристике полезного сигнала.

Рассмотрим методику определения оптимальной передаточной функции по критерию минимума СКО, когда структура системы неизвестна, а известна только передаточная функция неизменяемой части.

При определении оптимальной частотной характеристики замкнутой САУ по критерию минимума СКО между идеальным сигналом и оптимальным сигналом , предположим, что:

1) идеальная частотная характеристика или идеальная функция веса известны;

2) полезный сигнал и помеха являются стационарными эргодическими случайными процессами с нулевым математическим ожиданием и их корреляционные функции и спектральные плотности известны;

3) на время переходного процесса ограничения не накладываются, т.е. решение ищется в классе систем с “ бесконечной памятью”.

Схема постановки задачи приведена на рисунке 11.3.2.

Рис.11.3.2. Cхема синтеза оптимальной САУ

Необходимое условие, которому должна удовлетворять оптимальная импульсная переходная функция получена Н.Винером в виде интегрального уравнения

(11.3.2)

при

Корреляционная функция суммарного сигнала на входе определяется выражением

Условие отражает принцип физической осуществимости системы. Если полезный сигнал и помеха некоррелированы, то

Уравнение (11.3.2) можно преобразовать к виду

, (11.3.3)

где некоторая функция, равная нулю при Это условие приводит к тому, что функция связанная с преобразованием Фурье, не будет содержать полюсов в верхней полуплоскости плоскости Преобразование Фурье дает возможность перейти к спектральным плотностям.

(11.3.4)

Предположим, что спектральная плотность входного сигнала имеет дробно-рациональный вид и может быть представлена в виде

(11.3.5)

Здесь имеет все нули и полюсы в верхней полуплоскости, а -в нижней полуплоскости плоскости Разделим (11.3.4) на и получим

(11.3.6)

Дробь в левой части выражения (11.3.6) можно преобразовать к виду суммы

причем имеет все нули и полюсы только в верхней полуплоскости, а -только в нижней полуплоскости плоскости . С учетом этого выражение (11.3.6) преобразуем к виду

Последнее выражение справедливо для всей плоскости . Однако, поскольку необходимо выполнение условия физической реализуемости то решение ищется только в верхней полуплоскости и указанное выражение принимает вид

Отсюда для амплитудно-фазовой характеристики замкнутой САУ получим

(11.3.7)

Передаточная функция замкнутой САУ По этой передаточной функции определяется передаточная функция разомкнутой системы, а затем, с учетом известной передаточной функции неизменяемой части, находится передаточная функция корректирующего устройства.

Пример 11.3.1

Полезный сигнал и помеха заданы своими корреляционными функциями:

;

Полезный сигнал и помеха не коррелированы. Идеальная передаточная функция ,т.е. должна быть решена задача оптимальной фильтрации.

Прежде всего определим спектральные плотности.

Аналогично получим

Далее процесс решения задачи Винера состоит из следующих операций:

1.Вычислим

Здесь

Разложим эту функцию на комплексно-сопряженные множители

Отсюда

2. Вычислим взаимную спектральную плотность

Ф

3. Определим функцию

Приведя к общему знаменателю и приравнивая числители этого и предыдущего выражений, получим систему уравнений, из решения которой будем иметь

4. Вычислим частотную характеристику оптимальной системы