Основное уравнение метода гармонического баланса

Если в системе, изображенной на рис.10.4.1 , гармонически линеаризовать нелинейный элемент, заменив его эквивалентной передаточной функцией , то она становится линейной (рис. 10.5.3). ледовательно, в этом случае для анализа свойств системы можно применять методы линейной теории управления.

Как известно, в линейной системе (при отсутствии синусоидального сигнала на входе) незатухающие колебания будут возникать лишь в том случае, когда она находится на границе устойчивости. Таким образом, для определения автоколебаний в исходной системе необходимо рассмотреть условие границы устойчивости линеаризованной системы. В соответствии с критерием Найквиста в этой ситуации амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы должна проходить через точку , т. е.

.

Учитывая, что , запишем условие границы устойчивости в виде

. (10.5.16)

Это уравнение и представляет собой основное уравнение метода гармонического баланса, из которого можно определить параметры автоколебаний. Если (10.5.16) не имеет положительных вещественных решений относительно и , то автоколебательный режим в нелинейной системе не возникает.

Для решения основного уравнения метода гармонического баланса были предложены различные способы, которые мы далее последовательно и рассмотрим.

Аналитический способ определения автоколебаний

В этом случае для определения границы устойчивости линеаризованной системы удобнее воспользоваться критерием Михайлова. С этой целью определим характеристическое уравнение системы (см. рис. 10.5.3)

(10.5.17)

заменив в котором на , получим условие границы устойчивости согласно критерию Михайлова

. (10.5.18)

Заметим, что (10.5.18) есть преобразованная форма записи основного уравнения метода гармонического баланса (10.5.16).

Выделяя вещественную и мнимую части , получим соотношения

(10.5.19)

которые позволяют аналитически вычислить параметры автоколебаний и .

Пример 10.5.2

Определить параметры автоколебаний в системе (см. рис. 10.4.1), если нелинейный элемент представляет собой идеальное реле (см. рис. 10.5.2) с уровнем ограничения , а линейную часть описывает передаточная функция .

Запишем передаточную функцию гармонически линеаризованного идеального реле

,

а затем характеристическое уравнение (10.5.17)

,

которое преобразуем к виду

.

Заменив здесь на , получим

.

В результате расчетные соотношения имеют вид

Таким образом, в нелинейной системе будут возникать периодические движения со следующими параметрами: и .

Влияние параметров системы на периодические процессы

В некоторых случаях возникает необходимость оценить влияние одного из параметров системы (обозначим его ) на автоколебания. При этом уравнение (10.5.18) принимает вид

.

Следовательно, соотношения (10.5.19) кроме параметров и содержат :

(10.5.20)

Решив уравнения (10.5.20) относительно и , получим параметрические зависимости

(10.5.21)

и построим соответствующие графики (рис. 10.5.4).

Рис. 10.5.4 Пример влияния параметра α на периодические процессы

По этим графикам можно выбрать значение , при котором в системе будут возникать периодические процессы с определенной амплитудой и частотой ( и ).