12.4 Частотные характеристики. Характеристики замкнутых систем Динамические характеристики

К динамическим характеристикам дискретных систем, как и в теории непрерывных систем, относят передаточные функции, временные (импульсные, переходные) и частотные характеристики. В литературе принято называть эти характеристики, добавляя слово "дискретная" (например, "дискретная передаточная функция" - ДПФ, "дискретная переходная характеристика" - ДПХ и т. д.). Здесь мы ограничимся написанием символа * и аргумента iTn, подчеркивающих принадлежность характеристик дискретным системам. Перейдем к их рассмотрению, для чего запишем конечно-разностное уравнение системы

Возьмем z-преобразование от обеих его частей с учетом правила нахождения изображения конечной разности. В итоге получим операторное уравнение^

из которого находим передаточную функцию дискретной системы в виде отношения изображений

(12.4.1)

По своей структуре эта функция совпадает с передаточной функцией непрерывной системы, если вместо оператора р подставить оператор (1-z^-1). Когда разностное уравнение задано в рекуррентной форме

ему будет соответствовать операторное уравнение

После преобразований получим вторую форму записи передаточной функции

(12.4.2)

Формулы (12.4.1) и (12.4.2) эквивалентны и могут быть получены друг из друга. С их помощью изображение выходного процесса по изображению входного процесса находится как произведение

(12.4.3)

Рис. 12.4.1. Соединение дискретных звеньев

Благодаря одинаковой структуре передаточной функции дискретной системы и передаточной функции непрерывной системы остаются справедливыми все правила структурных преобразований, применяемые для непрерывных систем. Так, для последовательного соединения дискретных звеньев (рис. 12.4.1,а)

Для параллельного соединения (рис. 12.4.1,б)

Для соединения с обратной связью (рис. 12.4.1, в)K*yx(z) = K*1(z)

Рис. 12.4.2. Импульсная характеристика дискретной системы

При нахождении временных характеристик в качестве типовых воздействий используются единичный дискретный импульс и единичная дискретная функция. Импульсной характеристикой линейной дискретной системы Kyx(iTn) (рис. 12.4.2, а) называется реакция на единичный дискретный импульс δ(iTn) при нулевых начальных условиях. С ее помощью можно определить реакцию системы на произвольное воздействие х(iTn). Рассматривая рис. 12.4.2,б, нетрудно понять, что значение выходного процесса y(iTn) можно подсчитать по формуле

Если учесть условие физической реализуемости импульсной характеристики

при i < k, то эту формулу можно переписать, заменив верхний предел суммы бесконечностью, то есть

(12.4.4)

Это соотношение называется формулой свертки, оно аналогично интегралу свертки в теории непрерывных систем. Возьмем z - преобразование от формулы свертки и найдем изображение выходного процесса через импульсную характеристику

Мы искусственно домножили слагаемые на единичный множитель в форме

Поменяем местами порядок суммирования, произведем перегруппировку сомножителей и заменим переменную i-k = r, i = k+r, после чего будем иметь

По условию физической реализуемости k_yx(rT_n) = 0 при r < 0, поэтому нижний предел у внутренней суммы можно заменить нулем и она не будет зависеть от переменной k, в результате чего суммы станут независимыми и их можно поменять местами. Заметим, что первая сумма

поэтому изображение выходной переменной станет равным

Сравнивая это равенство с формулой (12.4.3), получаем выражение для передаточной функции через импульсную характеристику в виде

(12.4.5)

Таким образом, передаточная функция дискретной системы является z-преобразованием от импульсной характеристики.

Рис. 12.4.3. Переходная характеристика дискретной системы

Переходной характеристикой линейной дискретной системы hyx(iTn) называется реакция на единичную дискретную функцию 1(iTn) при нулевых начальных условиях (рис. 12.4.3). Подставляя в формулу свертки (12.4.4) функцию

x(iTn) = 1(iTn),

найдем связь между переходной и импульсной характеристиками в виде

(12.4.6)

Переходная характеристика находится в виде суммы значений импульсной характеристики. Так как изображение единичного воздействия равно

то изображение переходной характеристики

Перейдем к рассмотрению частотных характеристик, для чего в передаточной функции K*yx(z) заменим переменную

и обозначим полученную функцию через K*yx(z). Форму частотной характеристики дискретной системы удобнее всего получить, если вначале рассмотреть непрерывную огибающую kyx(t) импульсной характеристики kyx(iTn). На рисунке 12.4.2, а эта огибающая показана пунктиром. Возьмем преобразование Лапласа от этой непрерывной функции и назовем ее передаточной функцией системы по огибающей

.

Тогда в соответствии с формулой связи между изображениями дискретной и непрерывной функций можно записать, что

Заменяя в этом равенстве p на jω, получаем формулу связи между частотными характеристиками дискретной системы и частотной характеристикой по огибающей

(12.4.7)

По своему содержанию это выражение аналогично спектру дискретного процесса . Рассмотрим амплитудно-частотную характеристику дискретной системы |K*yx(jω)| в соответствии с амплитудно-частотной характеристикой по огибающей |K*yx(jω)|. Пусть форма |Kyx(jω)| имеет вид, показанный на рис. 12.4.4, а, где ω0 - полоса пропускания такая, что при ω > ω0 |Kyx(jω)| → 0. Частотная характеристика дискретной системы при ω0 < показана на рис. 12.4.4, а, а при ω0 > - на рис. 12.4.4, б.

Рис. 12.4.4. Амплитудно-частотные характеристики инерционных дискретных звеньев

Дискретные системы, у которых ω0 < , обладают свойством гребенчатых фильтров. Как будет показано ниже, эти свойства оказываются необходимыми для качественной работы дискретных следящих систем.