3.2.1.4 Инерционное звено (апериодическое звено первого порядка)

Описывается дифференциальным уравнением

Перейдя к изображениям, получим:

.

Передаточные и частотные функции:

На рис. 3.3 приведены основные частотные характеристики инерционного звена. Годограф АФЧХ (рис. 3.3, а) имеет вид полуокружности радиуса с центром в точке, расположенной в четвертом квадранте комплексной плоскости. АЧХ (рис. 3.3, б) монотонно уменьшается с ростом частоты, начиная со значения , по обратно квадратичной зависимости.

Рис. 3.3 — Частотные характеристики инерционного звена

ЛАЧХ звена показана на рис. 3.3, в. Но эта же характеристика может быть представлена приближенно ломаной линией, которая показана на том же рисунке. Эта приближенная характеристика называется асимптотической ЛАЧХ. Такое название связано с тем, что эта характеристика составлена из двух асимптот, к которым стремится ЛАЧХ при    и   .

При малых значениях  можно считать , то есть, следовательно,Соответственно характеристика представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс и проходящую на уровне. Это первая асимптота, к которой стремится ЛАЧХ при  .

С другой стороны, на больших частотах

В этом случае характеристика представляет собой прямую, имеющую наклон минус 20 дБ/дек. Действительно, при увеличении  на декаду, т.е. в 10 раз,

Таким образом, величина уменьшилась на 20 lg10, т.е. на 20 дБ. Эта линия является асимптотой, к которой стремится ЛАЧХ при  . Обе асимптоты пересекаются в точке, соответствующей частоте Поэтому эта частота называетсячастотой сопряжения (сопрягающей частотой).

Максимальное расхождение между точной () и асимптотической () ЛАЧХ наблюдается при частоте сопряжения. Вычислим это расхождение, подставив в соотношения дляизначения частоты сопряжения:

дБ.

От параметров звена рассматриваемая величина не зависит.

На этом же рисунке показана ЛФЧХ: при    значение  изменяется от 0 до минус . При этом в точкеимеем.

Переходная функция инерционного звена может быть выведена по формуле (2.14). Если , то,,. Передаточная функция имеет один полюс. Тогда по формуле (2.14) получим

,

а импульсная переходная функция

Переходная и импульсная переходная характеристики представлены на рис. 3.4, а, б.

Рис. 3.4 — Временные характеристики инерционного звена (а, б)

и его реализация на операционном усилителе (в)

Динамические свойства звена характеризуются постоянной времени . Постоянная времени может быть определена как время, в течение которого выходная величина достигла бы своего нового установившегося значения, если бы она изменялась с постоянной скоростью, равной скорости изменения ее в начальный момент времени (см. рис. 3.4, а). Коэффициент передачи определяет свойства звена в установившемся режиме.

В рассмотренных выше примерах по определению передаточных функций схемы на рис. 2.3, 2.4, 2.7, а являются инерционными (апериодическими) звеньями. Реализация этого звена на операционном усилителе приведена на рис. 3.4, в. Действительно, если

,

то ,

где .

Пример 3.1

Асимптотическая ЛАЧХ апериодического звена имеет частоту среза .Частотой среза называется частота, при которой ЛАЧХ пересекает ось частот, т.е.. Это означает, что частотный коэффициент передачи устройства или системы равен единице и припроисходит усиление выходного сигнала, а при– его ослабление. Коэффициент передачи звена. Требуется определить постоянную времени.

Нужно на графике или мысленно провести из точки на оси частот прямую с наклоном минус 20 дБ/дек до пересечения с горизонталью, проведенной на уровне. Координата точки пересечения по оси частот даст логарифм сопрягающей частоты, отсюдаис.